《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

23. (10分)新趋势 跨学科(2024·呼和浩特)实验是培养学生创新能力的重要途径.如图所示为小亮同学安装的化学实验装置,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图,已知试管AB= 24cm,$BE = \frac{1}{3}AB$,试管倾斜角∠ABG为12°.
(1) 求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度(结果用含非特殊角的三角函数表示);
(2) 实验时,导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF于点N(点C、D、N、F在同一条直线上),经测得,DE= 28cm,MN= 8cm,∠ABM= 147°,求线段DN的长度(结果用含非特殊角的三角函数表示).

答案：

(1)
∵AB=24 cm,BE=$\frac{1}{3}$AB,
∴BE=$\frac{1}{3}$×24=8(cm).
∵cos12°=$\frac{BG}{BE}$,
∴BG=8cos12°cm。
(2)
∵sin12°=$\frac{EG}{BE}$,
∴EG=8sin12°cm.如图,延长GB、NM交于点H.
∴易得四边形DNHG是矩形.
∴NH=DG=DE-EG=(28 - 8sin12°)cm.
∴HM=NH-MN=(20 - 8sin12°)cm.
∵∠ABG=12°,∠ABM=147°,
∴∠FBG=135°.
∴∠MBH=45°.
∴BH=HM=(20 - 8sin12°)cm.
∴DN=GH=BG+BH=(8cos12° + 20 - 8sin12°)cm。
　　　　　

24. (10分)(2024·重庆A卷)如图,A、B、C、D分别是某公园的四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB= 2千米(参考数据:$\sqrt{2}≈1.41$,$\sqrt{3}≈1.73$,$\sqrt{6}≈2.45$).
(1) 求BC的长度(结果精确到0.1千米).
(2) 甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为D-C-B,乙选择的路线为D-A-B.请计算说明谁选择的路线较近?

答案：

(1) 过点B作BE⊥AC于点E,如图所示.根据已知,得∠DAB=90°.
∵∠DAC=30°,
∴∠EAB=60°,∠EBA=30°.
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1千米,BE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$千米.
∵C在B的北偏西15°方向,
∴∠EBC=90°-30°-15°=45°.
∴△EBC是等腰直角三角形.
∴CE=BE=$\sqrt{3}$千米.
∴BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$≈2.5(千米).
∴BC的长度约为2.5千米。
(2) 过点C作CF⊥AD于点F,如图所示.由
(1),知AE=1千米,CE=$\sqrt{3}$千米,
∴AC=AE+CE=(1 + $\sqrt{3}$)千米.在Rt△ACF中,CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$千米,AF=$\sqrt{3}$CF=$\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$千米.由题意,知D在C的北偏西60°方向,
∴∠DCF=30°.
∴DF=$\frac{CF}{tan30°}$=$\frac{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$千米.
∴CD=2DF=$\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$千米.
∴AD + AB=AF + FD + AB=$\frac{\sqrt{3} + 3}{2}$ + $\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$ + 2=$\frac{2\sqrt{3} + 12}{3}$≈5.15(千米);CD + BC=$\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$ + $\sqrt{6}$≈4.03(千米).
∴CD + BC＜AD + AB.
∴甲选择的路线较近。