《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

22. (10分)(2024·盐城滨海模拟)AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,请用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1) 如图①,若M是$\overset{\frown}{AB}$的中点,且与点C在同一侧,作出$\angle ACB$的平分线CN,并说明理由;
(2) 如图②,若$DE// AB$,作出$\angle ACB$的平分线CP.

答案： （1）如图①,射线CN即为所求作 理由:如图①,作直径MN.
∵M是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$.
∵MN是直径,$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$,
∴MN⊥AB.
∴$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$.
∴∠ACN=∠BCN,即CN平分∠ACB.（2）如图②,射线CP即为所求作 解析:如图②,连接AE、BD,相交于点J,作直线OJ交⊙O于点P.
∵DE//AB,
∴∠EAB=∠AED.又
∵∠ABD=∠AED,
∴∠ABD=∠EAB=∠AED.
∴△ABJ是等腰三角形.
∵O为AB的中点,
∴OJ⊥AB.
∴OJ⊥DE.
∴$\overset{\frown}{DP}=\overset{\frown}{EP}$.
∴易得$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{BP}$.
∴CP平分∠ACB.

23. (10分)如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作$\odot O$交AB于点F,连接DB交$\odot O$于点H,E是BC上的一点,且$BE= BF$,连接DE.
(1) 求证:DE是$\odot O$的切线;
(2) 若$BF= 2$,$DH= \sqrt{5}$,求$\odot O$的半径.

答案： （1）如图,连接DF.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=CD=DA,AD//BC,∠DAB=∠C.
∵BF=BE,
∴AB - BF=BC - BE,即AF=CE.
∴△DAF≌△DCE.
∴∠DFA=∠DEC.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠DFA=90°.
∴∠DEC=90°.
∵AD//BC,
∴∠ADE=∠DEC=90°.
∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线 （2）如图,连接AH.设AD=2r.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AHD=∠DFA=90°.
∴∠DFB=90°.
∵AD=AB,DH=$\sqrt{5}$,
∴DB=2DH=$2\sqrt{5}$.在Rt△ADF和Rt△BDF中,
∵DF²=AD² - AF²=4r² - (2r - 2)²=8r - 4,DF²=BD² - BF²=$(2\sqrt{5})^2 - 2^2=16$,
∴8r - 4=16,解得r=$\frac{5}{2}$.
∴⊙O的半径为$\frac{5}{2}$