《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

11. (2024·盐城大丰段考)若关于$x的一元二次方程x^{2}+bx + c = 0$的两个实数根分别为 -2、4,则$b + c$的值是-10.

答案： -10 解析:由题意,得 - 2 + 4 = -$\frac{b}{1}$, - 2×4 = $\frac{c}{1}$,
∴b = - 2,c = - 8.
∴b + c = - 10.

12. 已知圆锥的底面半径为 6 cm,母线长为 4 cm,则圆锥的侧面积为____24π$cm^{2}$.

答案： 24π 解析:
∵圆锥的底面半径为6cm,母线长为4cm,
∴圆锥的侧面积 = π×6×4 = 24π(cm²).

13. 新情境 日常生活(2024·高邮二模)读书已经成为很多人的一种生活方式,城市书院是读书的重要场所之一.据统计,某书院对外开放的第一个月进书院 600 人次,进书院人次逐月增加,到第三个月月末累计进书院 2850 人次.若进书院人次的月平均增长率为$x$,则可列方程为____600 + 600(1 + x) + 600(1 + x)² = 2850.

答案： 600 + 600(1 + x) + 600(1 + x)² = 2850 解析:
∵该书院对外开放的第一个月进书院600人次,且进书院人次的月平均增长率为x,
∴第二个月进书院600(1 + x)人次,第三个月进书院600(1 + x)²人次.根据题意,得600 + .600(1 + x) + 600(1 + x)² = 2850.

14. 一条弦把圆分成$1:5$的两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是____.

答案：
30°或150° 解析:如图,连接OA、OB.
∵弦AB把圆分成1:5的两部分,
∴$\overset{\frown}{AC'B}$对应的圆心角的度数是$\frac{1}{6}$×360° = 60°,$\overset{\frown}{ACB}$对应的圆心角的度数是360° - 60° = 300°.
∴∠AOB = 60°.
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°.
∴∠AC'B = 180° - 30° = 150°.

15. (2024·南京建邺二模)如图,$\odot O的直径AB = 12$,$AM$、$BN$是它的两条切线,$DE与\odot O相切于点E$,并与$AM$、$BN分别相交于D$、$C$两点.设$AD = x$,$BC = y$,则$y关于x$的函数表达式为____.

答案：
y = $\frac{36}{x}$(x ＞ 0) 解析:如图,过点D作DF⊥BC于点F.
∵AD、BC分别是⊙O的切线,
∴∠OAD = ∠OBF = 90°.又
∵DF⊥BC,
∴四边形ABFD为矩形.
∴DF = AB = 12,BF = AD.
∵AD、BC、DC分别为⊙O的切线,
∴DE = DA = x,CE = CB = y.
∴CF = y - x.
∴DC = x + y.在Rt△DCF中,由勾股定理,得DC² = DF² + CF²,即(x + y)² = (y - x)² + 12².整理,得xy = 36.
∴y = $\frac{36}{x}$.
∴y关于x的函数表达式为y = $\frac{36}{x}$(x ＞ 0).

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AC = 4$,$E是AC$的中点,$M$、$N分别是边AB$、$BC$上的动点,$D也是边BC$上的一个动点,以$CD为直径作\odot O$,连接$ED交\odot O于点F$,连接$FM$、$MN$,则$FM + MN$的最小值为____.

答案：
$\frac{9}{2}$ 解析:如图,连接CF.
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CFD = 90°.
∴∠CFE = 90°.取CE的中点G,以CE为直径作⊙G,
∴点F在⊙G上.
∵AC = 4,E是AC的中点,
∴CE = AE = $\frac{1}{2}$AC = 2.
∴CG = 1.将△ABC沿AB对折得到△ABC',作点N关于AB的对称点N',易得点N'在BC'上.过点G作GN''⊥BC'于点N'',交AB于点M,交⊙G于点F',连接MN',此时FM + MN有最小值,即为F'M + MN'' = F'N''.
∵∠ACB = 90°,∠ABC = 30°,AC = 4,
∴易得BC = $\sqrt{3}$AC = 4$\sqrt{3}$,∠CBC' = 60°.延长BC'、N''G交于点P,
∵∠PN''B = 90°,
∴∠BPN'' = 30°.
∵CG = 1,
∴易得PG = .2,易得CP = $\sqrt{3}$.
∴BP = 4$\sqrt{3}$ + $\sqrt{3}$ = 5$\sqrt{3}$.
∴易得BN'' = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
∴易得PN'' = $\sqrt{3}$BN'' = $\frac{15}{2}$.
∴F'N'' = $\frac{15}{2}$ - 2 - 1 = $\frac{9}{2}$.
∴FM + MN的最小值为$\frac{9}{2}$.

17. (8 分)解方程:
(1)$25(x + 3)^{2}-16 = 0$; (2)$x(2x + 3)= 4x + 6$.

答案：
(1)25(x + 3)² - 16 = 0,25(x + 3)² = 16,(x + 3)² = $\frac{16}{25}$,
∴x + 3 = ±$\frac{4}{5}$.
∴x₁ = -$\frac{19}{5}$,x₂ = -$\frac{11}{5}$
(2)x(2x + 3) = 4x + 6,x(2x + .3) - 2(2x + 3) = 0,
∴(x - 2)(2x + 3) = 0.
∴x - 2 = 0或2x + 3 = 0.
∴x₁ = 2,x₂ = -$\frac{3}{2}$

18. (8 分)(2024·盐城射阳二模)已知关于$x的一元二次方程(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$有两个不相等的实数根.
(1) 求$m$的取值范围;
(2) 当$m$取满足条件的最小奇数时,求方程的根.

答案：
(1)
∵关于x的一元二次方程(m + 1)x² + 2mx + m - 3 = 0有两个不相等的实数根,
∴m + 1 ≠ 0且b² - 4ac ＞ 0.
∵b² - 4ac = (2m)² - 4(m + 1)(m - 3) = 8m + 12,
∴8m + 12 ＞ 0,解得m ＞ -$\frac{3}{2}$.
∴m的取值范围是m ＞ -$\frac{3}{2}$且m ≠ - 1
(2)
∵m ＞ -$\frac{3}{2}$且m ≠ - 1,
∴m可取的最小奇数为1.当m = 1时,方程化为x² + x - 1 = 0.
∵b² - 4ac = 1² - 4×1×(- 1) = 5,
∴x = $\frac{- .1 ± \sqrt{5}}{2}$.
∴方程的根为$\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$