《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

12. 一根长64cm的铁丝被剪成两段,每段均围成正方形.若两个正方形的面积和为$160cm^2,$则这两个正方形的边长分别为4 cm,12 cm.

答案： 4 cm,12 cm 解析:设较短一段铁丝的长度为x cm,则较长一段铁丝的长度为(64-x)cm.由题意,得($\frac{x}{4}$)²+($\frac{64-x}{4}$)²=160,解得x₁=16,x₂=48(舍去).
∴较短一段铁丝的长度为16 cm,较长一段铁丝的长度为64-16=48(cm).
∴这两个正方形的边长分别为4 cm,12 cm.

13. 新考向 数学文化 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题,其大意为有一块圆形的田,中间有一个正方形水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是72平方步,从水池边到圆周,每边相距3步远,在这个不变的图形中,应该能求出正方形边长和圆的直径.如图(单位:步),设正方形的边长是x步,则列出的方程是π($\frac{x}{2}$+3)²-x²=72.

答案： π($\frac{x}{2}$+3)²-x²=72 解析:由题意,可知耕地的面积等于圆的面积减去正方形的面积,
∴列出的方程是π·($\frac{x}{2}$+3)²-x²=72.

14. 我们对一个四边形顶点和边都赋予一个特征值,并定义:两组对边的特征值分别相乘再相加叫做对边值,两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值.如图①,四边形的对边值为$mn + pq$,对角值为$ac + bd$.如图②,现有一四边形,该四边形对边值等于对角值,则图中的特征值x的值是-1或10.

答案： -1或10 解析:由题意,可得对边值为3×4+9x=12+9x,对角值为x²+2,
∴x²+2=12+9x,解得x₁=-1,x₂=10.

15. (2024·德州)已知a和b是方程$x^{2}+2024x-4= 0$的两个根,则$a^{2}+2023a - b$的值为2028.

答案： 2028 解析:
∵a和b是方程x²+2024x-4=0的两个根,
∴a²+2024a-4=0①,a+b=-2024②.①-②,得a²+2024a-4-(a+b)=2024.整理,得a²+2023a-b=2028.

16. 在欧几里得的《几何原本》中,记载了形如关于x的一元二次方程$x^{2}+ax = b^{2}(a＞0,b＞0)$的图解法:如图①,作$Rt△ABC$,其中$∠ACB = 90^{\circ},BC= \frac {a}{2},AC = b$,在斜边上截取$BD= \frac {a}{2}$,则AD的长就是所解方程的正根.根据上述图解法作出关于x的一元二次方程$x^{2}+ax = 16(a＞0)$的图解,如图②,若$\frac {S_{△BCD}}{S_{△ACD}}= \frac {3}{2}$,则a的值为6.

答案： 6 解析:
∵$\frac{S_{\triangle BCD}}{S_{\triangle ACD}}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{2}$.设BD=3m,则AD=2m,BC=3m,AB=5m.
∴AC=4m.
∵x²+ax=16=4²,
∴4m=4,
∴m=1.
∴BC=3.
∵BC=$\frac{a}{2}$=3,
∴a=6.

17. (16分)用适当的方法解下列方程:
(1)$4x^{2}-121= 0$; (2)$x^{2}+6x= 4$;
(3)$x^{2}-3x+1= 0$; (4)$x^{2}+5x-6= 0$.

答案： （1）4x²-121=0,x²=$\frac{121}{4}$,x=±$\frac{11}{2}$,
∴x₁=-$\frac{11}{2}$,x₂=$\frac{11}{2}$ （2）x²+6x=4,x²+6x+9=13,(x+3)²=13,x+3=±$\sqrt{13}$,
∴x₁=-3+$\sqrt{13}$,x₂=-3-$\sqrt{13}$ （3）x²-3x+1=0,
∵b²-4ac=(-3)²-4×1×1=9-4=5＞0,
∴x=$\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}$=$\frac{3\pm\sqrt{5}}{2×1}$.
∴x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ （4）x²+5x-6=0,(x+6)(x-1)=0,x+6=0或x-1=0,
∴x₁=-6,x₂=1