《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

18. (8分)(2024·盐城盐都期中)已知关于x的一元二次方程$x^{2} + ax + a - 2 = 0$.
(1)当其中一个根为1时,求另一个根;
(2)证明:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.

答案：
(1)
∵1是方程x² + ax + a - 2 = 0的根,
∴1 + a + a - 2 = 0,解得a = $\frac{1}{2}$.
∴方程为x² + $\frac{1}{2}$x - $\frac{3}{2}$ = 0.
∴1×x₁ = -$\frac{3}{2}$.
∴x₁ = -$\frac{3}{2}$,即另一个根为 -$\frac{3}{2}$
(2)
∵b² - 4ac = a² - 4(a - 2) = a² - 4a + 8 = (a - 2)² + 4,(a - 2)²≥0,
∴(a - 2)² + 4 ＞ 0.
∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根

19. (8分)(2024·盐城盐都期中)超市销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销量,增加盈利,该店采取了降价措施.经过一段时间后发现,销售单价每降价1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价6元,则平均每天销售数量为32件;
(2)为尽快减少库存,并使该超市每天销售利润为1200元,则每件商品应降价多少元?
设每件商品应降价x元.由题意,得(40 - x)(20 + 2x) = 1200.整理,得x² - 30x + 200 = 0,解得x₁ = 10,x₂ = 20.∵要尽快减少库存,∴x = 20,即每件商品应降价20元

答案：
(1)32 解析:由题意得,若降价6元,则平均每天销售数量为20 + 6×2 = 32(件).
(2)设每件商品应降价x元.由题意,得(40 - x)(20 + 2x) = 1200.整理,得x² - 30x + 200 = 0,解得x₁ = 10,x₂ = 20.
∵要尽快减少库存,
∴x = 20,即每件商品应降价20元