《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

18. (6分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(k + 4)x + k + 3 = 0$.
(1) 若该方程的一个根为1,求它的另一个根和k的值;
(2) 无论k为何值,方程总有一个不变的根,请求出这个不变的根.

答案： （1）把x=1代入原方程,得1+k+4+k+3=0,解得k=-4.
∴方程为x²-1=0,解得x₁=1,x₂=-1.
∴k=-4,另一个根为-1 （2）
∵b²-4ac=(k+4)²-4×1×(k+3)=k²+4k+4=(k+2)²≥0,
∴x=$\frac{-(k+4)\pm(k+2)}{2}$.
∴x₁=-1,x₂=-k-3.
∴方程总有一个不变的根,这个不变的根为-1

19. (8分)(2024·青海)(1)解一元二次方程:$x^{2}-4x + 3 = 0$;
(2) 若一个直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.

答案： （1）x²-4x+3=0,
∴(x-1)(x-3)=0.
∴x-1=0或x-3=0.
∴x₁=1,x₂=3 （2）当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长=$\sqrt{3²-1²}$=2$\sqrt{2}$;当1和3是直角三角形的直角边长时,第三边的长=$\sqrt{1²+3²}$=$\sqrt{10}$.综上所述,第三边的长为2$\sqrt{2}$或$\sqrt{10}$