《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

9. 若圆锥的底面圆的半径为2,母线长为5,则该圆锥的表面积是14π(结果保留$\pi$).

答案： $14\pi$ 解析:由题意,得该圆锥的表面积是$\pi×2^{2}+\pi×2×5=14\pi$.

10. 已知$\odot O$的半径为4,点A到圆心O的距离为3,则点A在$\odot O$__内__(填“上”“内”或“外”).

答案： 内 解析:
∵⊙O的半径$r=4$,且点A到圆心O的距离$d=3$,
∴$d\lt r$.
∴点A在⊙O内.

11. 如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,AB、CD的延长线交于点E.已知$AB = 2DE$,$\angle E = 16^{\circ}$,则$\angle AOC$的度数是______$48^{\circ}$.

答案： $48^{\circ}$ 解析:连接OD.
∵$AB=2DE$,$AB=2OB$,$OB=OD$,
∴$DE=OB=OD$.
∴$∠E=∠DOE=16^{\circ}$.
∴$∠CDO=∠E+∠DOE=32^{\circ}$.
∵$OC=OD$,
∴$∠C=∠CDO=32^{\circ}$.
∴$∠AOC=∠C+∠E=32^{\circ}+16^{\circ}=48^{\circ}$.

12. 如图,$\odot O$的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段OM的长的最小值为3.

答案： 3 解析:如图,过点O作$OM'⊥AB$,连接OA.
∵过直线外一点与直线上的所有点的连线中垂线段最短,
∴当OM与$OM'$重合时,OM最短.
∵$AB=8$,$OA=5$,
∴$AM'=\frac{1}{2}×8=4$.在Rt△$OAM'$中,$OM'=\sqrt{OA^{2}-AM'^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,
∴线段OM的长的最小值为3.

13. 如图,正方形ABCD的边长是$\sqrt{2}$,将对角线AC绕点A按顺时针方向旋转$\angle CAD$的度数,点C旋转后的对应点为E,则$\overset{\frown}{CE}$的长为$\frac{1}{2}\pi$(结果保留$\pi$).

答案： $\frac{1}{2}\pi$ 解析:
∵四边形ABCD为正方形,
∴易得$∠CAD=45^{\circ}$,$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$.
∵将对角线AC绕点A按顺时针方向旋转$∠CAD$的度数,点C旋转后的对应点为E,
∴$\overset{\frown}{CE}$的长为$\frac{45×\pi×2}{180}=\frac{1}{2}\pi$.

14. 如图,$\triangle ABC$内接于圆,点D在弧BC上,记$\angle BAC-\angle BCD= \alpha$,则图中等于$\alpha$的角是______.

∠DAC

答案： $∠DAC$ 解析:
∵$∠BAD=∠BCD$,$∠BAC-∠BCD=\alpha$,
∴$∠BAC-∠BAD=∠DAC=\alpha$,即题图中等于$\alpha$的角是$∠DAC$.

15. 新考向 数学文化 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”:“方田一段,一角圆池占之.”意思如下:一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(如图,圆与正方形一角的两边均相切).在此图中,正方形一条对角线AB与$\odot O$相交于点M、N(点N在点M的右上方).若AB的长为10丈,$\odot O$的半径为2丈,则BN的长为$(8-2\sqrt{2})$丈.

答案： $(8-2\sqrt{2})$ 解析:设正方形的一边与⊙O的切点为C,连接OC,则$OC⊥AC$.
∵AB是正方形的对角线,
∴$∠OAC=45^{\circ}$.
∴易得$OA=\sqrt{2}OC=2\sqrt{2}$.
∴$BN=AB-AN=10-2\sqrt{2}-2=(8-2\sqrt{2})$丈.

16. 如图,D为边长是$4\sqrt{3}$的等边三角形ABC边AB左侧一动点,不与点A、B重合,动点D在运动过程中始终保持$\angle ADB = 120^{\circ}$,则四边形ADBC的面积的最大值是______$16\sqrt{3}$.

答案： $16\sqrt{3}$ 解析:
∵△ABC是等边三角形,
∴$AB=AC=BC=4\sqrt{3}$,$∠ACB=∠ABC=∠BAC=60^{\circ}$.
∵$∠ADB=120^{\circ}$,
∴$∠ADB+∠ACB=180^{\circ}$.
∴四边形ACBD是圆的内接四边形.
∴易得四边形ACBD外接圆的半径为4,
∴⊙O的直径为8.如图,作四边形ACBD的外接圆⊙O,将△ADC绕点C逆时针旋转$60^{\circ}$,得到△BHC,
∴$CD=CH$,$∠DAC=∠HBC$.
∵四边形ACBD是圆的内接四边形,
∴$∠DAC+∠DBC=180^{\circ}$.
∴$∠DBC+∠HBC=180^{\circ}$,即点D、B、H共线.
∵$DC=CH$,$∠DCH=60^{\circ}$,
∴△DCH是等边三角形.
∵四边形ADBC的面积=$S_{\triangle ADC}+S_{\triangle BDC}=S_{\triangle CDH}=\frac{\sqrt{3}}{4}CD^{2}$,
∴当CD的长最大时,四边形ADBC的面积取得最大值.
∵当CD为⊙O的直径时,CD的长最大,即$CD=8$,
∴四边形ADBC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}CD^{2}=16\sqrt{3}$.

17. (6分)如图,在平面直角坐标系中,有三点A(0,4)、B(-4,4)、C(-6,2).
(1) 在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置,并写出圆心M的坐标:（-2,0）;
(2) 求点O到$\odot M$上最近的点的距离.
如图,连接CM.
∵$C(-6,2)$,$M(-2,0)$,
∴$MC=\sqrt{(-6+2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$,即⊙M的半径为$2\sqrt{5}$.
∵$OM=2$,
∴点O到⊙M上最近的点的距离为$2\sqrt{5}-2$

答案： （1）如图所示 （-2,0）解析:如图,连接BC、BA,并分别作BC、BA的垂直平分线,则交点M即为所求.（2）如图,连接CM.
∵$C(-6,2)$,$M(-2,0)$,
∴$MC=\sqrt{(-6+2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$,即⊙M的半径为$2\sqrt{5}$.
∵$OM=2$,
∴点O到⊙M上最近的点的距离为$2\sqrt{5}-2$