《2025年通城学典全程测评卷九年级数学全一册苏科版》

18. (8分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,点D在边BC上,且$\triangle ABD$是等边三角形.若$AB= 2$,求$\triangle ABC$的周长(结果保留根号).

答案：
∵△ABD是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵∠BAC=90°,
∴∠C=180°-90°-60°=30°.
∵AB=2,
∴BC=(AB)/(sinC)=
(2)/(sin30°)=4.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=√(BC²-AB²)=√(4²-2²)=2√3.
∴△ABC的周长=AC+BC+AB=2√3+4+2=6+2√3

19. (8分)(2024·徐州)如图,在徐州云龙湖旅游景区,点A为“彭城风华”观演场地,点B为“水族展览馆”,点C为“徐州汉画像石艺术馆”.已知$∠BAC= 60^{\circ },∠BCA= 45^{\circ },AC= 1640m$.求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB(结果精确到1m,参考数据:$\sqrt {2}\approx 1.41,\sqrt {3}\approx 1.73$).

答案： 如图,过点B作BH⊥AC于点H.设AH=xm.
∵∠BAC=60°,
∴∠ABH=90°-60°=30°.
∴AB=2AH=2xm.
∴tanA=tan60°=(BH)/(AH)=√3.
∴BH=√3xm.
∵∠BCA=45°,∠BHC=90°,
∴易得△BHC是等腰直角三角形.
∴CH=BH=√3xm.
∵AH+CH=AC=1640m,
∴x+√3x=1640.
∴x=
(1640)/(√3+1)=820(√3-1).
∴AB=1640(√3-1)≈1197(m).
∴“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1197m