《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

9. 如图,已知$l_{1}// l_{2}$,$AB// CD$,$CE\perp l_{2}$,$FG\perp l_{2}$,下列说法错误的是 (C)

A. $l_{1}$与$l_{2}$之间的距离是线段$FG$的长度
B. $CE = FG$
C. 线段$CD$的长度就是$l_{1}$与$l_{2}$两条平行线间的距离
D. $AC = BD$

答案： C

10. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,且$AC\perp BC$,$□ ABCD$的面积为$54$,$OA = 3$,则$BC$的长为 (B)

A. $6$
B. $9$
C. $12$
D. $13$

答案： B

11. 如图,$□ ABCD$中,$BC = BD$,$\angle C = 74^{\circ}$,则$\angle ADB = $$32^{\circ}$.

答案： $32^{\circ}$

12. 已知$□ ABCD$的边$AB = 12\mathrm{cm}$,它的长是周长的$\frac{1}{6}$,则$BC = $24$\mathrm{cm}$,$CD = $12$\mathrm{cm}$.

答案： $24$；$12$

13. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$\angle A = 120^{\circ}$,顶点$B$在$□ ODEF$的边$DE$上,已知$\angle 1 = 40^{\circ}$,则$\angle 2 = $$70^{\circ}$.

答案： $70^{\circ}$

14. 如图,点$E$,$F$分别在$□ ABCD$的边$AB$,$CD$的延长线上,连接$EF$,分别交$AD$,$BC$于点$G$,$H$.添加一个条件使$\triangle AEG\cong\triangle CFH$,这个条件可以是____$AE = CF$（答案不唯一）(写出一种即可).

答案： $AE = CF$（答案不唯一）

15. 如图,在周长为$20$的$□ ABCD$中,$AB＜AD$,$AC$与$BD$交于点$O$,$OE\perp BD$,交$AD$于点$E$,则$\triangle ABE$的周长为____10.

答案： $\boldsymbol{10}$

16. 如图,$□ ABCD$和$□ DCFE$的周长相等,且$\angle DAE = 25^{\circ}$,$\angle BCD = 60^{\circ}$,则$\angle F = $70$^{\circ}$.

答案： 1. 首先，根据平行四边形的性质：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$（平行四边形的对角相等，邻角互补），已知$\angle BCD = 60^{\circ}$，则$\angle BAD=120^{\circ}$。
又因为$\angle DAE = 25^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle BAD - \angle DAE=120^{\circ}-25^{\circ}=95^{\circ}$。
由于$\square ABCD$和$\square DCFE$的周长相等，且$AB = CD$，$CD = EF$，$AD = BC$，$DE = CF$，所以$AD = DE$。
2. 然后，在$\triangle ADE$中：
因为$AD = DE$，所以$\angle DAE=\angle DEA = 25^{\circ}$（等边对等角）。
根据三角形内角和定理$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle DAE-\angle DEA$，即$\angle ADE = 180^{\circ}-25^{\circ}-25^{\circ}=130^{\circ}$。
3. 最后，根据平行四边形的性质求$\angle F$：
因为四边形$DCFE$是平行四边形，所以$\angle F+\angle CDE = 180^{\circ}$（平行四边形的邻角互补），又因为$\angle ADC=\angle BCD = 60^{\circ}$（平行四边形的对角相等），$\angle ADE+\angle ADC+\angle CDE = 360^{\circ}$（周角为$360^{\circ}$），则$\angle CDE = 360^{\circ}-\angle ADE-\angle ADC$。
把$\angle ADE = 130^{\circ}$，$\angle ADC = 60^{\circ}$代入得$\angle CDE = 360^{\circ}-130^{\circ}-60^{\circ}=170^{\circ}$（此步错误，重新分析：因为$\square ABCD$和$\square DCFE$的周长相等，$AB = CD = EF$，$AD = BC$，$DE = CF$，所以$AD = DE$。$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle BAD+\angle DAE\times2$（因为$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle DAE = 25^{\circ}$，$\angle ADE = 180^{\circ}-120^{\circ}+25^{\circ}\times2=110^{\circ}$）。
因为四边形$DCFE$是平行四边形，$\angle F+\angle CDE = 180^{\circ}$，$\angle ADC=\angle BCD = 60^{\circ}$，$\angle ADE+\angle CDE=\angle ADC + 180^{\circ}$（延长$AD$，利用邻补角关系），$\angle ADE = 180^{\circ}-2\angle DAE=180 - 50=130^{\circ}$（错误，重新：因为$AD = DE$，$\angle DAE=\angle DEA = 25^{\circ}$，$\angle ADE = 130^{\circ}$，又因为$\angle ADC = 60^{\circ}$，所以$\angle CDE=360^{\circ}-\angle ADE-\angle ADC=360 - 130 - 60=170^{\circ}$（错误，正确：因为$\square ABCD$中$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle BCD=120^{\circ}$，$\angle ADE = 180^{\circ}-2\times25^{\circ}=130^{\circ}$，$\angle CDE = 360^{\circ}-\angle ADC-\angle ADE=360 - 120 - 130 = 110^{\circ}$，又因为$\square DCFE$中$\angle F+\angle CDE = 180^{\circ}$）。
因为$\square ABCD$中$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle BCD = 120^{\circ}$（平行四边形邻角互补），在$\triangle ADE$中，$AD = DE$，$\angle DAE=\angle DEA = 25^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle ADE = 180^{\circ}-2\times25^{\circ}=130^{\circ}$。
因为$\angle ADC+\angle ADE+\angle CDE = 360^{\circ}$（周角定义），所以$\angle CDE=360^{\circ}-\angle ADC - \angle ADE$，把$\angle ADC = 120^{\circ}$，$\angle ADE = 130^{\circ}$代入得$\angle CDE = 110^{\circ}$。
又因为四边形$DCFE$是平行四边形，所以$\angle F+\angle CDE = 180^{\circ}$（平行四边形邻角互补），则$\angle F = 70^{\circ}$。
故答案为：$70$。