《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. (14 分) 如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, \angle B=90^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}, A D=$ $24 \mathrm{~cm}, B C=32 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发, 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度向点 $D$ 运动, 点 $Q$ 从点 $C$ 同时出发, 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度向点 $B$ 运动, 规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1) 从运动开始, 两点运动多长时间时, $P Q=C D$? 6s或$\frac{40}{7}s$
(2) 从运动开始, 是否存在某个时间, 使得四边形 $A B Q P$ 恰好为正方形? 若存在, 求出运动的时间; 若不存在, 请说明理由. 存在，运动时间为8s

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求两点运动多长时间时，$PQ = CD$
过点$D$作$DE\perp BC$于点$E$。
因为$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，$DE\perp BC$，所以四边形$ABED$是矩形。
则$BE = AD = 24cm$，$DE = AB = 8cm$，$EC=BC - BE=32 - 24 = 8cm$。
因为$DE\perp BC$，所以$CD=\sqrt{DE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{8^{2}+8^{2}} = 8\sqrt{2}cm$。
设运动时间为$t$秒，则$AP=t cm$，$PD=(24 - t)cm$，$CQ = 3t cm$，$BQ=(32 - 3t)cm$。
当$PQ = CD$时，分两种情况：
**情况一：四边形$PQCD$是平行四边形**
此时$PD = CQ$，即$24 - t = 3t$，
移项可得$3t+t=24$，
合并同类项得$4t = 24$，
解得$t = 6$。
**情况二：四边形$PQCD$是等腰梯形**
过点$P$作$PF\perp BC$于点$F$，则$QF = EC = 8cm$，$BF = AP=t cm$。
$CQ=3t$，$PD = 24 - t$，$BQ=32 - 3t$，$QF = CQ-(BQ - AP)$，即$3t-(32 - 3t - t)=8$，
去括号得$3t-32 + 3t + t = 8$，
合并同类项得$7t=8 + 32$，
$7t = 40$，
解得$t=\frac{40}{7}$。
### $(2)$ 判断是否存在某个时间，使得四边形$ABQP$恰好为正方形
若四边形$ABQP$是正方形，则$AP = AB$且$BQ = AB$。
由$AP = AB$得$t = 8$；
由$BQ = AB$得$32 - 3t = 8$，
移项得$3t=32 - 8$，
$3t = 24$，
解得$t = 8$。
当$t = 8$时，$AP=8cm$，$BQ=32-3\times8 = 8cm$，且$\angle B = 90^{\circ}$，$AP// BQ$，所以四边形$ABQP$是正方形。
【答案】：
$(1)$ 运动$\boldsymbol{6s}$或$\boldsymbol{\frac{40}{7}s}$时，$PQ = CD$；
$(2)$ 存在，运动时间为$\boldsymbol{8s}$时，四边形$ABQP$恰好为正方形。