《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

21. 如图,在一条不完整的数轴上从左到右依次有$A$,$B$,$C$三点,其中$AB=2\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{2}$.设点$A$,$B$,$C$所对应的数的和是$P$.
(1)若以点$B$为原点,写出点$A$,$C$所对应的数,并计算$P$的值;点$A$对应的数是$-2\sqrt{2}$，点$C$对应的数是$\sqrt{2}$，$P=$$-\sqrt{2}$
(2)若原点为$O$,且$CO=5\sqrt{2}$,求$P$的值.$P=$$-19\sqrt{2}$或$11\sqrt{2}$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 以点$B$为原点
根据数轴的定义，原点左边的数为负数，右边的数为正数。
已知$AB = 2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，以$B$为原点，则点$A$在原点左边$2\sqrt{2}$个单位长度，所以点$A$对应的数是$-2\sqrt{2}$；点$C$在原点右边$\sqrt{2}$个单位长度，所以点$C$对应的数是$\sqrt{2}$。
那么$P=-2\sqrt{2}+0+\sqrt{2}=-\sqrt{2}$。
### $(2)$ 已知$CO = 5\sqrt{2}$，分情况讨论原点$O$的位置
**当原点$O$在点$C$右边时**：
此时点$C$对应的数是$-5\sqrt{2}$，因为$BC=\sqrt{2}$，所以点$B$对应的数是$-5\sqrt{2}-\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$；又因为$AB = 2\sqrt{2}$，所以点$A$对应的数是$-6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-8\sqrt{2}$。
则$P=-8\sqrt{2}+(-6\sqrt{2})+(-5\sqrt{2})=-19\sqrt{2}$。
**当原点$O$在点$C$左边时**：
此时点$C$对应的数是$5\sqrt{2}$，因为$BC=\sqrt{2}$，所以点$B$对应的数是$5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}$；又因为$AB = 2\sqrt{2}$，所以点$A$对应的数是$4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
则$P=2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5\sqrt{2}=11\sqrt{2}$。
【答案】：
$(1)$ $P = -\sqrt{2}$；
$(2)$ $P$的值为$-19\sqrt{2}$或$11\sqrt{2}$。

22. 阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如$\frac{3}{\sqrt{5}}$,$\sqrt{\frac{2}{3}}$,$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ (一)
$\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ (二)
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2×(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}-1$ (三)
$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$ (四)
以上四种化简的方法叫做分母有理化.
(1)请用两种不同的方法化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$;
方法一：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$；方法二：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2)化简$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$.
$\frac{\sqrt{2n + 1}-1}{2}$

答案： 【解析】：
(1)
方法一：
根据分母有理化的思路，给分子分母同时乘以$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，则
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = \sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，则$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=5 - 3 = 2$
所以$\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
方法二：
因为$2 = 5 - 3=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}$，则
$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = \sqrt{5}$，$b=\sqrt{3}$，则$(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$
所以$\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2)
先对每一项进行分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$
$\cdots$
$\frac{1}{\sqrt{2n + 1}+\sqrt{2n-1}}=\frac{\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n + 1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n-1})}=\frac{\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n + 1})^{2}-(\sqrt{2n-1})^{2}}=\frac{\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
则$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n - 1}}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n-1}}{2}$
$=\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\cdots+(\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n-1})]$
去括号后中间项可相互抵消，得到$\frac{1}{2}(\sqrt{2n + 1}-1)$
【答案】：
(1)方法一：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$；方法二：$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
(2)$\frac{\sqrt{2n + 1}-1}{2}$