《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. (14分)已知点$E$,$F$分别为正方形$A B C D$的边$B C$,$C D$上的点,$A F$,$D E$相交于点$G$,当点$E$,$F$分别为边$B C$,$C D$的中点时,有$A F = D E$,$A F \perp D E$成立.
试探究下列问题:
(1)如图1,若点$E$不是边$B C$的中点,点$F$不是边$C D$的中点,且$C E = D F$,上述结论是否仍然成立? (请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)
成立
(2)如图2,若点$E$,$F$分别在$C B$,$D C$的延长线上,且$C E = D F$,此时,上述结论是否仍然成立? 若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
成立
证明：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$，$\angle ADC=\angle DCB = 90^{\circ}$，在$\triangle ADF$和$\triangle DCE$中，$\begin{cases}AD = DC\\\angle ADF=\angle DCE = 90^{\circ}\\DF = CE\end{cases}$，根据$SAS$可证$\triangle ADF\cong\triangle DCE$，所以$AF = DE$，$\angle DAF=\angle CDE$，因为$\angle CDE + \angle ADE = 90^{\circ}$，所以$\angle DAF+\angle ADE = 90^{\circ}$，则$\angle AGD = 90^{\circ}$，即$AF\perp DE$。
(3)如图3,在(2)的基础上,连接$A E$,$E F$,若点$M$,$N$,$P$,$Q$分别为$A E$,$E F$,$F D$,$A D$的中点,请判断四边形$M N P Q$的形状,并证明你的结论.
正方形
证明：由(2)知$AF = DE$，$AF\perp DE$，因为点$M$，$N$，$P$，$Q$分别为$AE$，$EF$，$FD$，$AD$的中点，根据三角形中位线定理，$MQ = NP=\frac{1}{2}DE$，$MN = PQ=\frac{1}{2}AF$，且$MQ// DE$，$MN// AF$，所以$MQ = NP = MN = PQ$，$\angle QMN = 90^{\circ}$，所以四边形$MNPQ$是正方形。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$，$\angle ADC=\angle DCB = 90^{\circ}$，又$CE = DF$，根据$SAS$可证$\triangle ADF\cong\triangle DCE$，从而得出$AF = DE$，$\angle DAF=\angle CDE$，再通过角度关系可证$AF\perp DE$，所以结论成立。
(2) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = DC$，$\angle ADC=\angle DCB = 90^{\circ}$，在$\triangle ADF$和$\triangle DCE$中，$\begin{cases}AD = DC\\\angle ADF=\angle DCE = 90^{\circ}\\DF = CE\end{cases}$，根据$SAS$可证$\triangle ADF\cong\triangle DCE$，所以$AF = DE$，$\angle DAF=\angle CDE$，因为$\angle CDE + \angle ADE = 90^{\circ}$，所以$\angle DAF+\angle ADE = 90^{\circ}$，则$\angle AGD = 90^{\circ}$，即$AF\perp DE$，结论成立。
(3) 由
(2)知$AF = DE$，$AF\perp DE$，因为点$M$，$N$，$P$，$Q$分别为$AE$，$EF$，$FD$，$AD$的中点，根据三角形中位线定理，$MQ = NP=\frac{1}{2}DE$，$MN = PQ=\frac{1}{2}AF$，且$MQ// DE$，$MN// AF$，所以$MQ = NP = MN = PQ$，$\angle QMN = 90^{\circ}$，所以四边形$MNPQ$是正方形。
【答案】：
(1) 成立
(2) 成立，证明见上述解析
(3) 正方形，证明见上述解析