《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

15. 已知$x+y=-6$,$xy=8$,则$x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}$的值为$-4\sqrt{2}$.

答案： $-4\sqrt{2}$

16. 已知实数$a$,$b$,$c$在数轴上的对应点如图所示,化简:$2\sqrt{a^{2}}-|a-b|+|c-a|+\sqrt{(b-c)^{2}}=$$-2a - 2b + 2c$.

答案： $-2a - 2b + 2c$

17. 计算:
(1)$\sqrt{2}×\sqrt{3}-\sqrt{24}$;
(2)$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})÷2\sqrt{3}$;
(3)$(2\sqrt{5}-3)^{2}$;
(4)$(2a+\sqrt{5})(2a-\sqrt{5})$;
(5)$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}+\sqrt{24}$.

答案： 【解析】：
(1)
先根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$计算$\sqrt{2}\times\sqrt{3}$：
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}$。
再化简$\sqrt{24}$：
$\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}$。
最后计算$\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{24}$：
$\sqrt{2}\times\sqrt{3}-\sqrt{24}=\sqrt{6}-2\sqrt{6}=-\sqrt{6}$。
(2)
先分别化简括号内的二次根式：
$3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2\times\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=2\times\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$。
则括号内的值为$6\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}=(6 + 4-\frac{2}{3})\sqrt{3}=(\frac{18 + 12 - 2}{3})\sqrt{3}=\frac{28}{3}\sqrt{3}$。
再计算$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})\div2\sqrt{3}$：
$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})\div2\sqrt{3}=\frac{28}{3}\sqrt{3}\div2\sqrt{3}=\frac{28}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{14}{3}$。
(3)
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，其中$a = 2\sqrt{5}$，$b = 3$，则：
$(2\sqrt{5}-3)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}-2\times2\sqrt{5}\times3+3^{2}=20 - 12\sqrt{5}+9=29 - 12\sqrt{5}$。
(4)
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，其中$a = 2a$，$b=\sqrt{5}$，则：
$(2a+\sqrt{5})(2a-\sqrt{5})=(2a)^{2}-(\sqrt{5})^{2}=4a^{2}-5$。
(5)
先计算$\sqrt{48}\div\sqrt{3}$：
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b＞0)$，$\sqrt{48}\div\sqrt{3}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4$。
再计算$\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}$：
$\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}\times12}=\sqrt{6}$。
最后计算$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}$：
$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$。
【答案】：
(1)$-\sqrt{6}$；
(2)$\frac{14}{3}$；
(3)$29 - 12\sqrt{5}$；
(4)$4a^{2}-5$；
(5)$4+\sqrt{6}$

18. (1)已知$x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,求$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$的值;$4\sqrt{6}$
(2)已知$x=\sqrt{5}-2$,求$(9+4\sqrt{5})x^{2}-(\sqrt{5}+2)x+4$的值.4

答案： 【解析】：
(1) 本题可先根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$进行变形，再将$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$代入变形后的式子进行计算。
将$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$变形为$(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$，把$x_1=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$代入可得：
$x_1 + x_2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}$；
$x_1 - x_2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
所以$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)=2\sqrt{3}\times2\sqrt{2}=4\sqrt{6}$。
(2) 本题可先将$x = \sqrt{5} - 2$代入式子$(9 + 4\sqrt{5})x^2 - (\sqrt{5} + 2)x + 4$，然后根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$对$x^2$进行展开，再进行化简计算。
已知$x = \sqrt{5} - 2$，则$x^2 = (\sqrt{5} - 2)^2=(\sqrt{5})^2-2\times\sqrt{5}\times2 + 2^2=5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$。
将$x^2 = 9 - 4\sqrt{5}$，$x = \sqrt{5} - 2$代入$(9 + 4\sqrt{5})x^2 - (\sqrt{5} + 2)x + 4$可得：
$(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sqrt{5}) - (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) + 4$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$对上式进一步化简：
$9^2 - (4\sqrt{5})^2 - [(\sqrt{5})^2 - 2^2] + 4$
$= 81 - 80 - (5 - 4) + 4$
$= 1 - 1 + 4$
$= 4$。
【答案】：
(1)$4\sqrt{6}$；
(2)$4$