《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 已知一次函数$y=(2m+4)x+(3-n)$.求:
(1)当$m$为何值时,$y$随$x$的增大而增大?
(2)当$n$为何值时,函数图象与$y$轴的交点在$x$轴下方?
(3)当$m$,$n$为何值时,函数图象过原点?

答案： 【解析】：
（1）对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
在一次函数$y=(2m + 4)x+(3 - n)$中，$k = 2m + 4$，若$y$随$x$的增大而增大，则$2m+4\gt0$，
解不等式$2m+4\gt0$，移项可得$2m\gt - 4$，两边同时除以$2$，解得$m\gt - 2$。
（2）求函数图象与$y$轴的交点，令$x = 0$，则$y=3 - n$，所以函数$y=(2m + 4)x+(3 - n)$与$y$轴的交点坐标为$(0,3 - n)$。
因为函数图象与$y$轴的交点在$x$轴下方，所以交点的纵坐标小于$0$，且一次函数中$x$的系数不为$0$，即$\begin{cases}3 - n\lt0\\2m + 4\neq0\end{cases}$。
解$3 - n\lt0$，移项可得$-n\lt - 3$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$n\gt3$；$2m + 4\neq0$，移项可得$2m\neq - 4$，两边同时除以$2$，解得$m\neq - 2$。所以当$n\gt3$且$m\neq - 2$时，函数图象与$y$轴的交点在$x$轴下方。
（3）若函数图象过原点$(0,0)$，则把$(0,0)$代入$y=(2m + 4)x+(3 - n)$可得：
$\begin{cases}2m + 4\neq0\\3 - n = 0\end{cases}$
解$2m + 4\neq0$，移项可得$2m\neq - 4$，两边同时除以$2$，解得$m\neq - 2$；
解$3 - n = 0$，移项可得$n = 3$。
所以当$m\neq - 2$且$n = 3$时，函数图象过原点。
【答案】：（1）$m\gt - 2$；（2）$n\gt3$且$m\neq - 2$；（3）$m\neq - 2$且$n = 3$

18. 已知直线$y=-\frac {3}{2}x+3$.
(1)若点$(-1,a)$,$(\frac {1}{2},b)$都在该直线上,比较$a$和$b$的大小;
(2)在平面直角坐标系中,求该直线与两坐标轴的交点坐标.

答案： 【解析】：
(1)对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
在直线$y = -\frac{3}{2}x + 3$中，$k = -\frac{3}{2}\lt0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
已知点$(-1,a)$，$(\frac{1}{2},b)$都在该直线上，且$-1\lt\frac{1}{2}$，根据$y$随$x$的增大而减小，可得$a\gt b$。
(2)求直线与$x$轴的交点坐标时，令$y = 0$，则$-\frac{3}{2}x + 3 = 0$，
移项可得$-\frac{3}{2}x=-3$，
两边同时除以$-\frac{3}{2}$，即$x = -3\div(-\frac{3}{2}) = -3\times(-\frac{2}{3}) = 2$，所以直线与$x$轴的交点坐标为$(2,0)$。
求直线与$y$轴的交点坐标时，令$x = 0$，则$y = -\frac{3}{2}\times0 + 3 = 3$，所以直线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$。
【答案】：
(1)$a\gt b$；
(2)与$x$轴交点坐标为$(2,0)$，与$y$轴交点坐标为$(0,3)$