《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 已知小汽车在某路段的行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在该路段上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,小汽车行驶到B处,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗? (参考数据转换:$1m/s=3.6km/h$)

在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 30m$，$AB = 50m$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=\sqrt{(50 + 30)(50 - 30)}=\sqrt{80×20}=\sqrt{1600}=$40m。
小汽车的速度$v=\frac{BC}{t}$，$t = 2s$，所以$v=\frac{40}{2}=$20m/s。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$20m/s=20×3.6km/h=$72km/h。
比较72与70的大小，72>70。
这辆小汽车超速了。

答案： 【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 30m$，$AB = 50m$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{50^{2}-30^{2}}=\sqrt{(50 + 30)(50 - 30)}=\sqrt{80\times20}=\sqrt{1600}=40m$。
小汽车的速度$v=\frac{BC}{t}$，$t = 2s$，所以$v=\frac{40}{2}=20m/s$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，所以$20m/s=20\times3.6km/h = 72km/h$。
比较$72$与$70$的大小，$72\gt70$。
【答案】：这辆小汽车超速了。

21. 小刚和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长,其中边BC上有水池及建筑遮挡,没有办法直接测量其长度.小刚经测量得知$AB=AD=5m,∠A=60^{\circ },DC=13m,∠ABC=150^{\circ }$.小明说根据小刚所得的数据可以求出BC的长度.你同意小明的说法吗? 若同意,请求出BC的长度;若不同意,请说明理由.

同意小明的说法，BC的长度为12m.

答案： 【解析】：连接$BD$。
因为$AB = AD = 5m$，$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
则$BD = AB = 5m$，$\angle ABD = 60^{\circ}$。
又因为$\angle ABC = 150^{\circ}$，所以$\angle DBC=\angle ABC - \angle ABD=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDC$中，$DC = 13m$，$BD = 5m$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$BC=\sqrt{DC^{2}-BD^{2}}$。
将$DC = 13$，$BD = 5$代入可得：$BC=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12(m)$。
【答案】：同意小明的说法，$BC$的长度为$12m$。