《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 如图,已知四边形 ABCD 是正方形,点 G 为线段 AD 上任意一点,$ CE \perp BG $于点 E,$ DF \perp CE $于点 F. 求证:$ DF = BE + EF $.

证明：因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BC = CD$，$\angle BCD = 90^{\circ}$。
因为$CE\perp BG$，$DF\perp CE$，所以$\angle BEC=\angle DFC = 90^{\circ}$。
$\angle EBC+\angle BCE = 90^{\circ}$，又因为$\angle DCF+\angle BCE=\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle EBC=\angle FCD$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}\angle BEC=\angle DFC\\\angle EBC=\angle FCD\\BC = CD\end{cases}$，根据AAS定理可得$\triangle BEC\cong\triangle CFD$。
所以$BE = CF$，$EC = DF$。
又因为$EC=EF + FC$，把$BE = CF$，$EC = DF$代入可得$DF=EF + BE$。
即$DF = BE + EF$成立，此题得证。

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BC = CD$，$\angle BCD = 90^{\circ}$。
因为$CE\perp BG$，$DF\perp CE$，所以$\angle BEC=\angle DFC = 90^{\circ}$。
$\angle EBC+\angle BCE = 90^{\circ}$，又因为$\angle DCF+\angle BCE=\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle EBC=\angle FCD$。
在$\triangle BEC$和$\triangle CFD$中，$\begin{cases}\angle BEC=\angle DFC\\\angle EBC=\angle FCD\\BC = CD\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle BEC\cong\triangle CFD$。
所以$BE = CF$，$EC = DF$。
又因为$EC=EF + FC$，把$BE = CF$，$EC = DF$代入可得$DF=EF + BE$。
【答案】：
由上述推理可知$DF = BE + EF$成立，此题得证。

18. 如图,等边三角形 AEF 的顶点 E,F 在矩形 ABCD 的边 BC,CD 上,且 $ \angle CEF = 45^\circ $. 求证:矩形 ABCD 是正方形.


证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°。
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°。
∵∠CEF=45°，∠C=90°，∴∠CFE=∠CEF=45°。
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=180°-60°-45°=75°，
∠AFD=180°-∠AFE-∠CFE=180°-60°-45°=75°。
在△ABE和△ADF中，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（AAS）。
∴AB=AD。
∵四边形ABCD是矩形，∴矩形ABCD是正方形。

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B = \angle D=\angle C = 90^{\circ}$。
- 因为$\triangle AEF$是等边三角形，所以$AE = AF$，$\angle AEF=\angle AFE = 60^{\circ}$。
- 又因为$\angle CEF = 45^{\circ}$，所以$\angle CFE=\angle CEF = 45^{\circ}$。
- 那么$\angle AFD=\angle AEB = 180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$。
- 在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle AEB=\angle AFD\\AE = AF\end{array}\right.$。
- 根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle ADF$。
- 所以$AB = AD$。
- 因为四边形$ABCD$是矩形且$AB = AD$，所以矩形$ABCD$是正方形。
【答案】：
矩形$ABCD$是正方形。

19. 如图,正方形 ABCD 中,E 是 CD 边上的一点,F 为 BC 延长线上一点,$ CE = CF $.
(1)求证:$ \triangle BEC \cong \triangle DFC $；
(2)若 $ \angle BEC = 60^\circ $，求$ \angle EFD $的度数.15°

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BC = DC$，$\angle BCD=\angle DCF = 90^{\circ}$。
又因为$CE = CF$，根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle BEC\cong\triangle DFC$。
(2) 因为$\triangle BEC\cong\triangle DFC$，所以$\angle DFC=\angle BEC = 60^{\circ}$。
因为$CE = CF$，$\angle DCF = 90^{\circ}$，所以$\angle CFE = 45^{\circ}$。
则$\angle EFD=\angle DFC-\angle CFE=60^{\circ}- 45^{\circ}=15^{\circ}$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析；
(2)$15^{\circ}$。