《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

19. 已知一个等腰三角形的两边长分别为$\sqrt{18a}\ \text{cm}$,$\sqrt{12a}\ \text{cm}$,求它的周长.

答案： 【解析】：本题可先对等腰三角形的腰长进行分类讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算出其周长。
- **步骤一：对等腰三角形的腰长进行分类讨论**
已知等腰三角形的两边长分别为$\sqrt{18a}\text{ cm}$，$\sqrt{12a}\text{ cm}$，需要分两种情况讨论：
当腰长为$\sqrt{18a}\text{ cm}$时，三边长分别为$\sqrt{18a}\text{ cm}$，$\sqrt{18a}\text{ cm}$，$\sqrt{12a}\text{ cm}$。
当腰长为$\sqrt{12a}\text{ cm}$时，三边长分别为$\sqrt{12a}\text{ cm}$，$\sqrt{12a}\text{ cm}$，$\sqrt{18a}\text{ cm}$。
- **步骤二：根据三角形三边关系判断能否构成三角形**
三角形三边关系为：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
当腰长为$\sqrt{18a}\text{ cm}$时：
$\sqrt{18a}+\sqrt{18a}=2\sqrt{18a}=6\sqrt{2a}$，$\sqrt{12a}=2\sqrt{3a}$。
因为$6\sqrt{2a}\gt 2\sqrt{3a}$，$\sqrt{18a}-\sqrt{18a}=0\lt \sqrt{12a}$，所以能构成三角形。
此时周长为$\sqrt{18a}+\sqrt{18a}+\sqrt{12a}=6\sqrt{2a}+2\sqrt{3a}$ $=(6\sqrt{2a}+2\sqrt{3a})\text{ cm}$。
当腰长为$\sqrt{12a}\text{ cm}$时：
$\sqrt{12a}+\sqrt{12a}=2\sqrt{12a}=4\sqrt{3a}$，$\sqrt{18a}=3\sqrt{2a}$。
因为$4\sqrt{3a}\gt 3\sqrt{2a}$，$\sqrt{12a}-\sqrt{12a}=0\lt \sqrt{18a}$，所以能构成三角形。
此时周长为$\sqrt{12a}+\sqrt{12a}+\sqrt{18a}=4\sqrt{3a}+3\sqrt{2a}$ $=(4\sqrt{3a}+3\sqrt{2a})\text{ cm}$。
【答案】：$(6\sqrt{2a}+2\sqrt{3a})\text{ cm}$或$(4\sqrt{3a}+3\sqrt{2a})\text{ cm}$

20. 已知$a$,$b$都是正整数.
(1)若$\sqrt{\frac{7}{a}}$是整数,求满足条件的$a$的值;
(2)若$\sqrt{\frac{7}{a}}+\sqrt{\frac{10}{b}}$是整数,求满足条件的有序数对$(a,b)$.

答案： 【解析】：
(1)
因为$\sqrt{\frac{7}{a}}$是整数，且$a$是正整数，要使$\sqrt{\frac{7}{a}}$有意义，则$a\gt0$。
$\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{a}}$，要使$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{a}}$为整数，则$a = 7$时，$\sqrt{\frac{7}{a}}=\sqrt{\frac{7}{7}} = 1$，所以满足条件的$a$的值为$7$。
(2)
因为$a$，$b$都是正整数，$\sqrt{\frac{7}{a}}+\sqrt{\frac{10}{b}}$是整数。
由
(1)知，当$\sqrt{\frac{7}{a}}$是整数时，$a = 7$，此时$\sqrt{\frac{7}{a}} = 1$。
对于$\sqrt{\frac{10}{b}}$，$\sqrt{\frac{10}{b}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{b}}$，要使$\sqrt{\frac{10}{b}}$为整数，则$b = 10$时，$\sqrt{\frac{10}{b}}=\sqrt{\frac{10}{10}} = 1$。
当$\sqrt{\frac{7}{a}} = 0$时，因为$a$是正整数，$\sqrt{\frac{7}{a}}\gt0$，这种情况不存在；同理$\sqrt{\frac{10}{b}}\gt0$。
当$\sqrt{\frac{7}{a}}+\sqrt{\frac{10}{b}}$是整数，且$\sqrt{\frac{7}{a}} = 1$，$\sqrt{\frac{10}{b}} = 1$时满足条件，此时$a = 7$，$b = 10$，所以满足条件的有序数对$(a,b)$为$(7,10)$。
【答案】：
(1)$7$；
(2)$(7,10)$