《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 如图,四边形 ABCD,DEFG 都是正方形,连接 AE,CG.
(1)求证:$ AE = $CG；
(2)观察图形,猜想 AE 与 CG 之间的位置关系,并证明你的猜想.
猜想：AE与CG的位置关系是AE⊥CG.

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$和$DEFG$都是正方形，所以$AD = CD$，$DE = DG$，$\angle ADC=\angle EDG = 90^{\circ}$。
$\angle ADC+\angle ADG=\angle EDG+\angle ADG$，即$\angle ADE=\angle CDG$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CDG$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADE=\angle CDG\\DE = DG\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CDG$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AE = CG$。
(2) 猜想$AE\perp CG$。
设$AE$与$CG$相交于点$M$，$AE$与$CD$相交于点$N$。
由
(1)知$\triangle ADE\cong\triangle CDG$，所以$\angle DAE=\angle DCG$。
因为$\angle AN D=\angle CN M$（对顶角相等），在$\triangle ADN$中，$\angle DAE+\angle AND = 90^{\circ}$。
所以$\angle DCG+\angle CN M = 90^{\circ}$，在$\triangle CN M$中，$\angle CMN=180^{\circ}-(\angle DCG+\angle CN M)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$AE\perp CG$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，证得$AE = CG$。
(2) $AE\perp CG$，证明见上述解析。

21. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle ACB = 90^\circ $，点 D 为 AB 的中点,四边形 BCED 为平行四边形,DE,AC 相交于点 F,连接 DC,AE.
(1)判断四边形 ADCE 的形状,并说明理由；
四边形$ADCE$是菱形，理由：因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$CE// BD$，$CE = BD$。点$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，进而$CE// AD$，$CE = AD$，故四边形$ADCE$是平行四边形。又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$D$是$AB$中点，根据直角三角形斜边中线定理得$CD = AD$，所以四边形$ADCE$是菱形。
(2)若 $ AB = 16 $，$ AC = 12 $，求四边形 ADCE 的面积；
$24\sqrt{7}$
(3)当$ \triangle ABC $满足什么条件时,四边形 ADCE 为正方形? 请给予证明.
当$AC = BC$时，四边形$ADCE$为正方形。证明：因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$DE = BC$，$DE// BC$。又因为$AC = BC$，所以$DE = AC$。因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE// BC$，所以$\angle AFD=\angle ACB = 90^{\circ}$，即$AC\perp DE$。由(1)知四边形$ADCE$是菱形，且对角线互相垂直且相等，所以四边形$ADCE$是正方形。

答案： 【解析】：
### $(1)$判断四边形$ADCE$的形状
- 已知四边形$BCED$是平行四边形，所以$CE// BD$，$CE = BD$。
- 因为点$D$是$AB$中点，所以$AD = BD$，进而$CE// AD$，$CE = AD$。
- 根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ADCE$是平行四边形。
- 又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，点$D$是$AB$中点，根据直角三角形斜边中线定理“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，所以$CD = AD$。
- 一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ADCE$是菱形。
### $(2)$求四边形$ADCE$的面积
- 已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 16$，$AC = 12$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{16^{2}-12^{2}}=\sqrt{256 - 144}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}$。
- 因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$DE = BC = 4\sqrt{7}$。
- 由于四边形$ADCE$是菱形，菱形的面积公式为$S=\frac{1}{2}\times 对角线之积$，这里$AC$与$DE$是菱形$ADCE$的对角线，所以$S_{ADCE}=\frac{1}{2}\times AC\times DE$。
- 把$AC = 12$，$DE = 4\sqrt{7}$代入可得$S_{ADCE}=\frac{1}{2}\times12\times4\sqrt{7}=24\sqrt{7}$。
### $(3)$判断$\triangle ABC$满足什么条件时，四边形$ADCE$为正方形
- 当$AC = BC$时，四边形$ADCE$为正方形。
- 证明：
因为四边形$BCED$是平行四边形，所以$DE = BC$，$DE// BC$。
又因为$AC = BC$，所以$DE = AC$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$DE// BC$，所以$\angle AFD=\angle ACB = 90^{\circ}$，即$AC\perp DE$。
由$(1)$知四边形$ADCE$是菱形，再结合$AC\perp DE$，$AC = DE$（对角线互相垂直且相等的菱形是正方形），所以四边形$ADCE$是正方形。
【答案】：
$(1)$ 四边形$ADCE$是菱形，理由见上述解析。
$(2)$ $24\sqrt{7}$。
$(3)$ 当$AC = BC$时，四边形$ADCE$为正方形，证明见上述解析。