《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

14. 如图,小聪在作线段 AB 的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点 A,B 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧,两弧分别交于 C,D 两点,则直线 CD 即为所求. 根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是菱形.

答案： 菱形

15. 如图,四边形 ABCD 是轴对称图形,且直线 AC 是对称轴, $ AB // CD $,则下列结论:① $ AC \perp BD $;② $ AD // BC $;③ 四边形 ABCD 是菱形;④ $ \triangle ABD \cong \triangle CDB $. 其中正确的是________①②③④(只填写序号).

答案： ①②③④

16. 如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ AC = 8 $, $ BC = 6 $,点 D 为斜边 AB 上一点,以 CD,CB 为边作 $ □ CDEB $,当 $ AD = $$\frac{14}{5}$时, $ □ CDEB $ 为菱形.

答案： $\boldsymbol{\frac{14}{5}}$

17. 如图,AD 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线. $ DE // AC $ 交 AB 于 E, $ DF // AB $ 交 AC 于 F. 四边形 AEDF 是菱形吗? 说明你的理由.

四边形$AEDF$是菱形。理由：先由$DE// AC$，$DF// AB$证得四边形$AEDF$是平行四边形，再由$AD$平分$\angle BAC$，$DE// AC$证得$AE = DE$，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出四边形$AEDF$是菱形。

答案： 【解析】：
因为$DE// AC$，$DF// AB$，根据平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$AEDF$是平行四边形。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD=\angle FAD$。
又因为$DE// AC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle EDA=\angle FAD$。
所以$\angle EAD = \angle EDA$。
根据等角对等边，可得$AE = DE$。
再根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形），因为四边形$AEDF$是平行四边形且$AE = DE$，所以四边形$AEDF$是菱形。
【答案】：四边形$AEDF$是菱形。理由：先由$DE// AC$，$DF// AB$证得四边形$AEDF$是平行四边形，再由$AD$平分$\angle BAC$，$DE// AC$证得$AE = DE$，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出四边形$AEDF$是菱形。