《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

7. 如图,正方形 $A B C D$ 的面积为 8, 点 $A, B$ 都在数轴上,且点 $A$ 表示的数是 -1,以点 $A$ 为圆心, $A C$ 的长为半径画弧,交数轴于点 $M$,则点 $M$ 表示的数是 (B)

A. 4
B. -5 或 3
C. $2 \sqrt{2}$
D. $-1-2 \sqrt{2}$ 或 $-1+2 \sqrt{2}$

答案： 1. 首先求正方形边长：
设正方形$ABCD$的边长为$a$，已知正方形$ABCD$的面积为$8$，根据正方形面积公式$S = a^{2}$，可得$a^{2}=8$，则$a = 2\sqrt{2}$。
2. 然后求$AC$的长度：
在正方形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，因为$AB = BC=a = 2\sqrt{2}$，所以$AC=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{8 + 8}=\sqrt{16}=4$。
3. 最后求点$M$表示的数：
已知点$A$表示的数是$-1$，以点$A$为圆心，$AC = 4$为半径画弧，交数轴于点$M$。
当点$M$在点$A$右侧时，点$M$表示的数为$-1 + 4=3$；
当点$M$在点$A$左侧时，点$M$表示的数为$-1-4=-5$。
所以点$M$表示的数是$-5$或$3$，答案是B。

8. 如图,在正方形 $A B C D$ 中,点 $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点, $C E, D F$ 交于点 $G$,连接 $A G$. 下列结论: (1) $C E=D F$; (2) $C E \perp D F$; (3) $\angle A G E=\angle C D F$. 其中正确的结论是 (D)

A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③

答案： D

9. 如图,在 $\triangle D E F$ 中, $\angle D=90^{\circ}, D G: G E=1: 3, G E=G F, Q$ 是 $E F$ 上一动点,过点 $Q$ 作 $Q M \perp D E$ 于点 $M, Q N \perp G F$ 于点 $N$. 若 $E F=4 \sqrt{3}$, 则 $Q M+Q N$ 的长是 (D)

A. $4 \sqrt{3}$
B. $3 \sqrt{2}$
C. 4
D. $2 \sqrt{3}$

答案： D

10. 已知点 $O$ 是边长为 6 的等边 $\triangle A B C$ 的中心, 点 $P$ 在 $\triangle A B C$ 外, $\triangle A B C$, $\triangle P A B, \triangle P B C, \triangle P C A$ 的面积分别记为 $S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}$. 若 $S_{1}+S_{2}+S_{3}=$ $2 S_{0}$, 则线段 $O P$ 长的最小值是 (C)
A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$
C. $3 \sqrt{3}$
D. $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$

答案： C