《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

21. (12 分) 已知在矩形 $A B C D$ 中, $B D$ 是对角线, $A E \perp B D$ 于点 $E, C F \perp B D$ 于点 $F$.
(1) 如图 1, 求证: $AE=CF$;
(2) 如图 2, 当 $\angle A D B=30^{\circ}$ 时, 连接 $A F, C E$, 在不添加任何辅助线的情况下, 请写出图 2 中四个三角形, 使写出的每个三角形的面积都等于矩形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{8}$, 并说明理由.
(1) 证明：已知四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质可知$AB// CD$，$AB = CD$，所以$\angle ABE=\angle CDF$。因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFD\\\angle ABE=\angle CDF\\AB = CD\end{cases}$，根据$AAS$可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。全等三角形的对应边相等，所以$AE = CF$。
(2) 图 2 中四个三角形为$\triangle ABE$、$\triangle ADF$、$\triangle BCE$、$\triangle CDF$。理由如下：设$AB = x$。因为四边形$ABCD$是矩形，$\angle ADB = 30^{\circ}$，$\angle BAD=90^{\circ}$，可得$BD = 2AB = 2x$，$AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{3}x$，矩形$ABCD$面积$S=\sqrt{3}x^{2}$。因为$\angle ADB = 30^{\circ}$，$AE\perp BD$，在$Rt\triangle ADE$中，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，$DE=\frac{3}{2}x$，又因为$\triangle ABE\cong\triangle CDF$，所以$BE = DF=\frac{1}{2}x$。对于$\triangle ABE$：$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× BE× AE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x×\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}=\frac{1}{8}S$。同理可得$\triangle ADF$、$\triangle BCE$、$\triangle CDF$的面积均为$\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}=\frac{1}{8}S$。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AE = CF$
已知四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质可知$AB// CD$，$AB = CD$，所以$\angle ABE=\angle CDF$。
因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle CFD\\\angle ABE=\angle CDF\\AB = CD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
全等三角形的对应边相等，所以$AE = CF$。
### $(2)$ 找出面积等于矩形$ABCD$面积$\frac{1}{8}$的四个三角形并说明理由
设$AB = x$。
因为四边形$ABCD$是矩形，$\angle ADB = 30^{\circ}$，$\angle BAD=90^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$BD = 2AB = 2x$，再根据勾股定理$AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$，所以矩形$ABCD$面积$S = AB\times AD=x\times\sqrt{3}x=\sqrt{3}x^{2}$。
因为$\angle ADB = 30^{\circ}$，$AE\perp BD$，在$Rt\triangle ADE$中，$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\frac{3}{2}x$，又因为$\triangle ABE\cong\triangle CDF$，所以$BE = DF=\frac{1}{2}x$。
**对于$\triangle ABE$：**
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times BE\times AE=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}x\times\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}=\frac{1}{8}S_{矩形ABCD}$。
**对于$\triangle ADF$：**
$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}\times DF\times AE=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}x\times\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}=\frac{1}{8}S_{矩形ABCD}$。
**对于$\triangle BCE$：**
$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}\times BE\times CF$（由$(1)$知$AE = CF$），$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}x\times\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}=\frac{1}{8}S_{矩形ABCD}$。
**对于$\triangle CDF$：**
$S_{\triangle CDF}=\frac{1}{2}\times DF\times CF=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}x\times\frac{\sqrt{3}}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}=\frac{1}{8}S_{矩形ABCD}$。
【答案】：
$(1)$ 证明见上述解析。
$(2)$ $\triangle ABE$、$\triangle ADF$、$\triangle BCE$、$\triangle CDF$，理由见上述解析。