《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 已知$\sqrt {2}=a,\sqrt {20}=b$,用含$a,b$的式子表示$\sqrt {0.016}$为$\frac{4}{5ab}$。

答案： 【解析】：
本题可先将$\sqrt{0.016}$进行变形，再结合已知条件$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{20}=b$来表示$\sqrt{0.016}$。
- **步骤一：对$\sqrt{0.016}$进行变形**
将$0.016$写成分数形式为$\frac{16}{1000}$，则$\sqrt{0.016}=\sqrt{\frac{16}{1000}}$。
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m\geq0$，$n\gt0$），可得$\sqrt{\frac{16}{1000}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{1000}}$。
因为$\sqrt{16} = 4$，所以$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{1000}}=\frac{4}{\sqrt{1000}}$。
- **步骤二：将$\sqrt{1000}$转化为含有$\sqrt{2}$与$\sqrt{20}$的形式**
对$1000$进行分解因数：$1000 = 2\times20\times25$，则$\sqrt{1000}=\sqrt{2\times20\times25}$。
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{mn}=\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}$（$m\geq0$，$n\geq0$），可得$\sqrt{2\times20\times25}=\sqrt{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{25}$。
因为$\sqrt{25} = 5$，所以$\sqrt{2}\times\sqrt{20}\times\sqrt{25}=5\sqrt{2}\times\sqrt{20}$。
- **步骤三：将$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{20}=b$代入化简**
由上述计算可知$\sqrt{0.016}=\frac{4}{\sqrt{1000}}=\frac{4}{5\sqrt{2}\times\sqrt{20}}$，把$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{20}=b$代入可得：
$\sqrt{0.016}=\frac{4}{5ab}$
【答案】：$\frac{4}{5ab}$

21. 观察下列各式及其验证过程:
$2\sqrt {\frac {2}{3}}=\sqrt {2+\frac {2}{3}}$,验证:$2\sqrt {\frac {2}{3}}=\sqrt {\frac {2^{3}}{3}}=\sqrt {\frac {(2^{3}-2)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt {\frac {2(2^{2}-1)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt {2+\frac {2}{3}}$.
$3\sqrt {\frac {3}{8}}=\sqrt {3+\frac {3}{8}}$,验证:$3\sqrt {\frac {3}{8}}=\sqrt {\frac {3^{3}}{8}}=\sqrt {\frac {(3^{3}-3)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt {\frac {3(3^{2}-1)+3}{3^{2}-1}}=\sqrt {3+\frac {3}{8}}$.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想$4\sqrt {\frac {4}{15}}$的变形结果,并进行验证;
猜想结果：$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$
验证过程：
$\begin{aligned}4\sqrt{\frac{4}{15}}&=\sqrt{\frac{4^{3}}{15}}\\&=\sqrt{\frac{(4^{3}-4)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{4(4^{2}-1)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{4+\frac{4}{15}}\end{aligned}$
(2)针对上述各式反映的规律,写出用$n(n$为任意自然数,且$n≥2)$表示的等式,并给出证明.
写出等式：$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$（$n$为任意自然数，且$n\geq2$）
证明过程：
$\begin{aligned}n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}&=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{(n^{3}-n)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}\end{aligned}$

答案： $(1)$ 猜想$4\sqrt{\frac{4}{15}}$的变形结果并验证
- **猜想结果**：
根据前面两个式子的规律，猜想$4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$。
- **验证过程**：
解：
$\begin{aligned}4\sqrt{\frac{4}{15}}&=\sqrt{\frac{4^{3}}{15}}\\&=\sqrt{\frac{(4^{3}-4)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{4(4^{2}-1)+4}{4^{2}-1}}\\&=\sqrt{4+\frac{4}{15}}\end{aligned}$
$(2)$ 写出用$n$（$n$为任意自然数，且$n\geq2$）表示的等式并证明
- **写出等式**：
$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$（$n$为任意自然数，且$n\geq2$）。
- **证明过程**：
解：
$\begin{aligned}n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}&=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{(n^{3}-n)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}\\&=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}\end{aligned}$
综上，$(1)$ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\boldsymbol{\sqrt{4 + \frac{4}{15}}}$；$(2)$ 等式为$\boldsymbol{n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}}$（$n$为任意自然数，且$n\geq2$），证明如上。