《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

18. 如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上, $ BE = BF $,DE,DF 分别与 AC 交于点 M,N. 求证:
(1) $ \triangle ADE \cong \triangle CDF $;
(2) $ ME = NF $.

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$DA = DC = AB = BC$，$\angle DAE=\angle DCF$。
又因为$BE = BF$，所以$AB - BE = BC - BF$，即$AE = CF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}DA = DC\\\angle DAE=\angle DCF\\AE = CF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
(2) 由
(1)知$\triangle ADE\cong\triangle CDF$，所以$\angle ADM=\angle CDN$，$DE = DF$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$\angle DAM=\angle DCN$。
又因为$DA = DC$，在$\triangle ADM$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}\angle ADM=\angle CDN\\DA = DC\\\angle DAM=\angle DCN\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle ADM\cong\triangle CDN$，所以$DM = DN$。
因为$DE = DF$，所以$DE - DM = DF - DN$，即$ME = NF$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

19. 如图,在四边形 ABCD 中, $ AB // CD $,AC 平分 $ \angle DAB $, $ AB = 2CD $,点 E 为 AB 的中点,连接 CE.
(1) 求证:四边形 AECD 是菱形;
(2) 若 $ \angle D = 120^{\circ} $, $ CD = 2 $,求 $ \triangle ABC $ 的面积.$2\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$AECD$是菱形
- **步骤一：证明四边形$AECD$是平行四边形**
已知$AB// CD$，点$E$为$AB$的中点，$AB = 2CD$，所以$AE=\frac{1}{2}AB = CD$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$AECD$是平行四边形。
- **步骤二：证明平行四边形$AECD$是菱形**
因为$AC$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAC=\angle EAC$。
又因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$\angle DCA=\angle EAC$。
所以$\angle DAC=\angle DCA$，根据“等角对等边”，可得$AD = CD$。
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形$AECD$是菱形。
### $(2)$ 求$\triangle ABC$的面积
- **步骤一：求$AB$的长度**
已知$CD = 2$，$AB = 2CD$，所以$AB = 4$。
- **步骤二：求$\triangle ABC$中$AB$边上的高**
因为四边形$AECD$是菱形，$\angle D=120^{\circ}$，所以$\angle DAE = 60^{\circ}$，$AE = CD = 2$。
过点$C$作$CF\perp AB$于点$F$。
因为四边形$AECD$是菱形，所以$CE = AE = 2$，$\angle CEB=\angle DAE = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle CEF$中，$\angle ECF = 30^{\circ}$，根据“在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半”，可得$EF=\frac{1}{2}CE = 1$。
再根据勾股定理$CF=\sqrt{CE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
- **步骤三：计算$\triangle ABC$的面积**
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$AB$为底，$CF$为高，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times CF=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$