《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

19. (8 分) 如图, 点 $O$ 是菱形 $A B C D$ 对角线的交点, $C E / / B D, E B / / A C$, 连接 $O E$, 交 $B C$ 于点 $F$.
(1) 求证: 四边形 $O B E C$ 为矩形;
(2) 如果 $O C: O B=1: 2, O E=2 \sqrt{5}$, 求菱形 $A B C D$ 的面积.16

答案： 【解析】：
(1) 因为$CE// BD$，$EB// AC$，所以四边形$OBEC$是平行四边形。
又因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，即$\angle BOC = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$OBEC$为矩形。
(2) 因为四边形$OBEC$为矩形，所以$BC = OE = 2\sqrt{5}$。
设$OC = x$，因为$OC:OB = 1:2$，则$OB = 2x$。
在$Rt\triangle BOC$中，根据勾股定理$OC^{2}+OB^{2}=BC^{2}$，可得$x^{2}+(2x)^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，
即$x^{2}+4x^{2}=20$，$5x^{2}=20$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$（$x=-2$舍去）。
所以$OC = 2$，$OB = 4$。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC = 2OC = 4$，$BD = 2OB = 8$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，可得菱形$ABCD$的面积为$\frac{1}{2}\times4\times8 = 16$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) $16$

20. (8 分) 如图, $A, B$ 两村在河 $l$ 的同侧, $A, B$ 到河 $l$ 的距离分别为 $1.5 \mathrm{~km}$ 和 $2 \mathrm{~km}, A B=1.3 \mathrm{~km}$, 现要在河边建一供水厂, 同时向 $A, B$ 两村供水. 若铺设水管的工程费用为每千米 1.8 万元, 问水厂建在何处能使铺设费用最少? 并求出最少总费用约多少万元.

水厂建在点P（点P为点A关于直线l的对称点A'与点B的连线与直线l的交点）处能使铺设费用最少，最少总费用约6.66万元。

答案： 【解析】：
作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$交直线$l$于点$P$，则点$P$即为所求的水厂位置。
过点$A$作$AH\perp BB'$于点$H$。
因为$A$，$A'$关于直线$l$对称，所以$AP = A'P$，$A$到$l$的距离为$1.5km$，$B$到$l$的距离为$2km$，则$A'H=1.5 + 2=3.5km$。
已知$AB = 1.3km$，$BH=2 - 1.5 = 0.5km$，在$Rt\triangle ABH$中，根据勾股定理$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{1.3^{2}-0.5^{2}}=\sqrt{1.69 - 0.25}=\sqrt{1.44}=1.2km$。
在$Rt\triangle A'BH$中，$A'B=\sqrt{A'H^{2}+AH^{2}}=\sqrt{3.5^{2}+1.2^{2}}=\sqrt{12.25 + 1.44}=\sqrt{13.69}=3.7km$。
因为$AP + BP=A'P + BP = A'B$，所以铺设水管的最短长度为$A'B = 3.7km$。
已知铺设水管的工程费用为每千米$1.8$万元，则最少总费用为$3.7\times1.8 = 6.66$万元。
【答案】：
水厂建在点$P$（点$P$为点$A$关于直线$l$的对称点$A'$与点$B$的连线与直线$l$的交点）处能使铺设费用最少，最少总费用约$6.66$万元。