《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

19. (8分)如图,在四边形$A B C D$中,$\angle B = 90 ^ { \circ }$,$A B = 3$,$B C = 4$,$C D = 12$,$A D = 13$,求四边形$A B C D$的面积.

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答案： 【解析】：连接$AC$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，可得$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
在$\triangle ACD$中，$AC = 5$，$CD = 12$，$AD = 13$，因为$AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$AD^{2}=13^{2}=169$，所以$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，根据勾股定理逆定理可知$\triangle ACD$是直角三角形，$\angle ACD = 90^{\circ}$。
那么四边形$ABCD$的面积$S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times BC=\frac{1}{2}\times3\times4 = 6$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times AC\times CD=\frac{1}{2}\times5\times12 = 30$。
所以$S = 6 + 30=36$。
【答案】：$36$

20. (10分)如图,一架长2.5m的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯底距墙底端0.7m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m,则梯子的底端将滑出0.8米?

答案： 【解析】：
在$Rt\triangle AOB$中，已知$AB = 2.5m$，$OB = 0.7m$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=\sqrt{(2.5 + 0.7)\times(2.5 - 0.7)}=\sqrt{3.2\times1.8}=\sqrt{5.76}=2.4m$。
因为梯子的顶端沿墙下滑$0.4m$，所以$AC = 0.4m$，则$OC=OA - AC=2.4 - 0.4 = 2m$。
在$Rt\triangle COD$中，$CD = AB = 2.5m$，$OC = 2m$，再根据勾股定理可得$OD=\sqrt{CD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-2^{2}}=\sqrt{(2.5 + 2)\times(2.5 - 2)}=\sqrt{4.5\times0.5}=\sqrt{2.25}=1.5m$。
那么梯子底端滑出的距离为$BD=OD - OB=1.5 - 0.7 = 0.8m$。
【答案】：$0.8$