《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

23. 实数$a$在数轴上的对应点$A$的位置如图所示,$b = | a - \sqrt { 10 } | + | 2 - a |$.

(1)求$b$的值;$\sqrt{10}-2$
(2)已知$b + 2$的小数部分是$m$,$8 - b$的小数部分是$n$,求$2 m + 2 n + 1$的平方根.$\pm\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
### $(1)$求$b$的值
由数轴可知$2\lt a\lt3$。
因为$3\lt\sqrt{10}\lt4$，所以$a - \sqrt{10}\lt0$，$2 - a\lt0$。
根据绝对值的性质：当$x\lt0$时，$\vert x\vert=-x$。
则$\vert a - \sqrt{10}\vert=\sqrt{10}-a$，$\vert 2 - a\vert=a - 2$。
所以$b=\vert a - \sqrt{10}\vert+\vert 2 - a\vert=\sqrt{10}-a+a - 2=\sqrt{10}-2$。
### $(2)$求$2m + 2n + 1$的平方根
**步骤一：求$m$，$n$的值**
已知$b=\sqrt{10}-2$，则$b + 2=\sqrt{10}$。
因为$3\lt\sqrt{10}\lt4$，所以$\sqrt{10}$的整数部分是$3$，小数部分$m=\sqrt{10}-3$。
又因为$8 - b=8-(\sqrt{10}-2)=10-\sqrt{10}$。
由于$3\lt\sqrt{10}\lt4$，则$-4\lt-\sqrt{10}\lt - 3$，$6\lt10-\sqrt{10}\lt7$。
所以$10-\sqrt{10}$的整数部分是$6$，小数部分$n=10-\sqrt{10}-6 = 4-\sqrt{10}$。
**步骤二：计算$2m + 2n + 1$的值**
将$m=\sqrt{10}-3$，$n = 4-\sqrt{10}$代入$2m + 2n + 1$可得：
$\begin{aligned}2m + 2n + 1&=2(m + n)+1\\&=2((\sqrt{10}-3)+(4-\sqrt{10}))+1\\&=2\times1 + 1\\&=3\end{aligned}$
**步骤三：求$2m + 2n + 1$的平方根**
因为一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，$(\pm\sqrt{3})^2 = 3$，所以$3$的平方根是$\pm\sqrt{3}$，即$2m + 2n + 1$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{\sqrt{10}-2}$；$(2)$$\boldsymbol{\pm\sqrt{3}}$

如何排列
张明和李彤在玩卡片游戏,张明拿出点数为$1$,$2$,$3$的卡片各两张,对李彤说:“我在一本书上看到一个游戏,要求把这$6$张卡片排成一行,结果是两张$1$之间有一张其他点数的卡片,两张$2$之间有两张其他点数的卡片,而两张$3$之间则要有三张其他点数的卡片,你看怎么排?”李彤经过一番探索终于排成了.接着,他添进两张$4$,反过来对张明说:“现在增加了两张$4$,共$8$张卡片,请你把它们也排成一行,不过,除了你刚才那些要求外,还要求两个$4$之间有四张其他点数的卡片.”张明摆弄了一番,也完成了任务.
张明意犹未尽,还想再添两张$5$进去,在一旁静静观看的数学老师发话了:“不要再随便增加了,对于点数从$1 \sim 5$以及点数从$1 \sim 6$的卡片每样两张,是找不到满足类似要求的排列方法的.”
你知道李彤和张明是如何排列卡片的吗?

答案： 【解析】：
### 对于$6$张卡片（点数为$1$、$2$、$3$各两张）的排列
设这$6$个位置依次为①②③④⑤⑥。
从条件“两张$3$之间则要有三张其他点数的卡片”开始考虑，假设第一张$3$在①位置，那么第二张$3$就在⑤位置；接着根据“两张$2$之间有两张其他点数的卡片”，若第一张$2$在⑥位置，那么第二张$2$就在③位置；最后剩下的位置②和④就放$1$，得到排列$3$，$1$，$2$，$1$，$3$，$2$。也可以通过逐步尝试不同的起始位置和卡片放置顺序，经过多次试验后能确定满足条件的排列就是$3$，$1$，$2$，$1$，$3$，$2$ 。
### 对于$8$张卡片（点数为$1$、$2$、$3$、$4$各两张）的排列
同样采用逐步尝试的方法。从“两个$4$之间有四张其他点数的卡片”入手，假设第一个$4$在①位置，那么第二个$4$就在⑥位置；再结合“两张$3$之间则要有三张其他点数的卡片”，若第一个$3$在③位置，那么第二个$3$就在⑦位置；接着根据“两张$2$之间有两张其他点数的卡片”，第一个$2$在⑧位置，第二个$2$就在④位置；最后剩下的位置②和⑤放$1$，得到排列$4$，$1$，$3$，$1$，$2$，$4$，$3$，$2$。通过不断调整卡片的放置顺序，经过多次尝试后能找到满足所有条件的排列。
【答案】：$3$，$1$，$2$，$1$，$3$，$2$；$4$，$1$，$3$，$1$，$2$，$4$，$3$，$2$