《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

13. 使$\sqrt { 6 + n }$为整数的自然数$n$的最小值为3.

答案： $3$

14. 使代数式$\frac { \sqrt { 2 x - 1 } } { 3 - x }$有意义的$x$的取值范围是$x\geq\frac{1}{2}$且$x\neq3$.

答案： $x\geq\frac{1}{2}$且$x\neq3$

15. 下列各式:①$10$;②$\frac { 5 } { 4 } x$;③$5 - 3 x$;④$\sqrt { x ^ { 2 } + 9 }$;⑤$m \neq 8$;⑥$\frac { n } { 4 } - m$;⑦$2 x ＞ 9$.其中属于代数式的有①②③④⑥(填写序号).

答案： ①②③④⑥

16. 若$3$,$m$,$5$为三角形三边长,则$\sqrt { ( 2 - m ) ^ { 2 } } - \sqrt { ( m - 8 ) ^ { 2 } } =$$2m - 10$.

答案： 1. 首先，根据三角形三边关系：
对于三角形三边$a$，$b$，$c$（$a + b＞c$，$a - b\lt c$），已知三角形三边为$3$，$m$，$5$，则$5 - 3\lt m\lt5 + 3$。
即$2\lt m\lt8$。
2. 然后，根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geq0)\\-a(a\lt0)\end{cases}$化简$\sqrt{(2 - m)^{2}}-\sqrt{(m - 8)^{2}}$：
因为$2\lt m\lt8$，所以$2 - m\lt0$，$m - 8\lt0$。
根据$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，当$a = 2 - m$时，$\sqrt{(2 - m)^{2}}=\vert2 - m\vert=-(2 - m)=m - 2$；当$a=m - 8$时，$\sqrt{(m - 8)^{2}}=\vert m - 8\vert=-(m - 8)=8 - m$。
3. 最后，计算$\sqrt{(2 - m)^{2}}-\sqrt{(m - 8)^{2}}$的值：
$\sqrt{(2 - m)^{2}}-\sqrt{(m - 8)^{2}}=(m - 2)-(8 - m)$。
去括号得$m - 2-8 + m$。
合并同类项得$2m-10$。
故答案为$2m - 10$。

17. 计算:
(1)$( \sqrt { \frac { 3 } { 5 } } ) ^ { 2 }$;(2)$( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }$;(3)$( \frac { \sqrt { 7 } } { 3 } ) ^ { 2 }$;(4)$\sqrt { 1.5 ^ { 2 } }$;(5)$\sqrt { ( - \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } }$;(6)$\sqrt { 3 ^ { - 2 } }$.

答案： 【解析】：
1. 对于$(\sqrt{\frac{3}{5}})^2$：
根据$(\sqrt{a})^2 = a(a\geq0)$，这里$a = \frac{3}{5}$，所以$(\sqrt{\frac{3}{5}})^2=\frac{3}{5}$。
2. 对于$(2\sqrt{5})^2$：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n\times b^n$，则$(2\sqrt{5})^2 = 2^2\times(\sqrt{5})^2$。
因为$2^2 = 4$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，所以$2^2\times(\sqrt{5})^2=4\times5 = 20$。
3. 对于$(\frac{\sqrt{7}}{3})^2$：
根据$(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}(b\neq0)$，则$(\frac{\sqrt{7}}{3})^2=\frac{(\sqrt{7})^2}{3^2}$。
因为$(\sqrt{7})^2 = 7$，$3^2 = 9$，所以$\frac{(\sqrt{7})^2}{3^2}=\frac{7}{9}$。
4. 对于$\sqrt{1.5^2}$：
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，这里$a = 1.5\gt0$，所以$\sqrt{1.5^2}=\vert1.5\vert = 1.5$。
5. 对于$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}$：
根据$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，这里$a=-\frac{3}{4}$，所以$\sqrt{(-\frac{3}{4})^2}=\vert-\frac{3}{4}\vert=\frac{3}{4}$。
6. 对于$\sqrt{3^{-2}}$：
先根据负整数指数幂公式$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a\neq0)$，则$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
所以$\sqrt{3^{-2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$，又因为$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$，$\sqrt{1} = 1$，$\sqrt{9}=3$，所以$\sqrt{3^{-2}}=\frac{1}{3}$。
【答案】：
(1)$\frac{3}{5}$；
(2)$20$；
(3)$\frac{7}{9}$；
(4)$1.5$；
(5)$\frac{3}{4}$；
(6)$\frac{1}{3}$

18. 当$x$为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
(1)$\sqrt { x }$;(2)$\sqrt { - x }$;(3)$\sqrt { x + 2 }$;(4)$\sqrt { 1 - 2 x }$.

答案： 【解析】：本题可根据二次根式有意义的条件来确定$x$的取值范围。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即若$\sqrt{a}$有意义，则$a\geqslant0$。
**（1）对于$\sqrt{x}$：**
要使$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，则被开方数$x$必须满足$x\geqslant0$。
**（2）对于$\sqrt{-x}$：**
要使$\sqrt{-x}$在实数范围内有意义，则被开方数$-x$必须满足$-x\geqslant0$，解不等式$-x\geqslant0$，两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，可得$x\leqslant0$。
**（3）对于$\sqrt{x + 2}$：**
要使$\sqrt{x + 2}$在实数范围内有意义，则被开方数$x + 2$必须满足$x + 2\geqslant0$，解不等式$x + 2\geqslant0$，移项可得$x\geqslant - 2$。
**（4）对于$\sqrt{1 - 2x}$：**
要使$\sqrt{1 - 2x}$在实数范围内有意义，则被开方数$1 - 2x$必须满足$1 - 2x\geqslant0$，解不等式$1 - 2x\geqslant0$，移项可得$-2x\geqslant - 1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，可得$x\leqslant\frac{1}{2}$。
【答案】：（1）$x\geqslant0$；（2）$x\leqslant0$；（3）$x\geqslant - 2$；（4）$x\leqslant\frac{1}{2}$