《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,BD 是对角线, $ AG // DB $ 交 CB 的延长线于 G.
(1) 求证: $ \triangle ADE \cong \triangle CBF $;
证明：已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质可得$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle DAE=\angle BCF$。因为E，F分别为边AB，CD的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，进而$AE = CF$。在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle DAE=\angle BCF\\AE = CF\end{cases}$，根据三角形全等判定定理$SAS$，可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
(2) 若四边形 BEDF 是菱形,则四边形 AGBD 是什么特殊四边形? 并证明你的结论.
四边形AGBD是矩形。证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又因为$AG// DB$，所以四边形$AGBD$是平行四边形。已知四边形$BEDF$是菱形，所以$DE = BE$。因为E是AB中点，所以$AE = BE$，则$AE = BE = DE$。根据等腰三角形的性质，可得$\angle DAE=\angle ADE$，$\angle EDB=\angle EBD$。由三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle DAE+\angle ADE+\angle EDB+\angle EBD = 180^{\circ}$，所以$2\angle ADE + 2\angle EDB=180^{\circ}$，即$\angle ADE+\angle EDB = 90^{\circ}$，也就是$\angle ADB = 90^{\circ}$。根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$AGBD$是矩形。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$\triangle ADE\cong\triangle CBF$
- 已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，可得$AD = BC$，$AB = CD$，$\angle DAE=\angle BCF$。
- 因为$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}CD$，进而$AE = CF$。
- 在$\triangle ADE$和$\triangle CBF$中，$\begin{cases}AD = BC\\\angle DAE=\angle BCF\\AE = CF\end{cases}$，根据三角形全等判定定理$SAS$（边角边），可得$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
### $(2)$ 判断四边形$AGBD$的形状并证明
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又因为$AG// DB$，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$AGBD$是平行四边形。
- 已知四边形$BEDF$是菱形，所以$DE = BE$。
- 因为$E$是$AB$中点，所以$AE = BE$，则$AE = BE = DE$。
- 根据等腰三角形的性质，可得$\angle DAE=\angle ADE$，$\angle EDB=\angle EBD$。
- 由三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle DAE+\angle ADE+\angle EDB+\angle EBD = 180^{\circ}$，所以$2\angle ADE + 2\angle EDB=180^{\circ}$，即$\angle ADE+\angle EDB = 90^{\circ}$，也就是$\angle ADB = 90^{\circ}$。
- 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，因为四边形$AGBD$是平行四边形且$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以四边形$AGBD$是矩形。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$ 四边形$AGBD$是矩形，证明过程如上述解析。

21. 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E,F 分别在线段 AD,BC 上,点 O 是 EF 与 BD 的交点. 若将 $ \triangle BED $ 沿直线 BD 折叠,则点 E 与点 F 重合.
(1) 求证:四边形 BEDF 是菱形;
(2) 若 $ ED = 2AE $, $ AB \cdot AD = 3\sqrt{3} $,求 $ EF \cdot BD $ 的值.

(1) 证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，可得∠EDO=∠FBO。由折叠性质知ED=FD，BE=BF，∠EOD=∠FOB=90°。在△EOD和△FOB中，∠EDO=∠FBO，∠EOD=∠FOB，ED=FD，根据AAS判定定理得△EOD≌△FOB，所以EO=FO，又因BO=DO且EF⊥BD，故四边形BEDF是菱形。
(2) 4√3

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BEDF$是菱形
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，则$\angle EDO=\angle FBO$。
- 由折叠可知$ED = FD$，$BE = BF$，$\angle EOD=\angle FOB = 90^{\circ}$（折叠后对应边相等，对应角相等，且$EF$与$BD$垂直）。
- 在$\triangle EOD$和$\triangle FOB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EDO=\angle FBO\\\angle EOD=\angle FOB\\ED = FD\end{array}\right.$（$AAS$判定定理），所以$\triangle EOD\cong\triangle FOB$。
- 那么$EO = FO$，又因为$BO = DO$（矩形对角线互相平分，折叠后$BD$被$EF$垂直平分），且$EF\perp BD$。
- 根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以四边形$BEDF$是菱形。
### $(2)$ 求$EF\cdot BD$的值
- 设$AE = x$，因为$ED = 2AE$，所以$ED = 2x$，$AD=AE + ED=3x$。
- 因为四边形$BEDF$是菱形，所以$BE = ED = 2x$。
- 在矩形$ABCD$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB=\sqrt{BE^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
- 已知$AB\cdot AD = 3\sqrt{3}$，即$\sqrt{3}x\cdot3x = 3\sqrt{3}$，化简得$3x^{2}=3$，解得$x = 1$（$x=-1$舍去）。
- 所以$AB=\sqrt{3}$，$AD = 3$，$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+3^{2}} = 2\sqrt{3}$。
- 因为四边形$BEDF$是菱形，根据菱形的面积公式$S=\frac{1}{2}EF\cdot BD$，又因为$S = ED\cdot AB$（以$ED$为底，$AB$为高），$ED = 2$，$AB=\sqrt{3}$，所以$S = 2\sqrt{3}$。
- 由$S=\frac{1}{2}EF\cdot BD$，可得$EF\cdot BD = 2S$，把$S = 2\sqrt{3}$代入，得$EF\cdot BD=4\sqrt{3}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$