《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. (1)如图 1,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,过点 D 作 $ DP // OC $，且 $ DP = OC $，连接 CP,判断四边形 CODP 的形状并说明理由；四边形CODP是菱形。理由：先由DP//OC，DP=OC证得四边形CODP是平行四边形，再由矩形性质得OC=OD，进而证得平行四边形CODP是菱形。
(2)如果(1)中的矩形变为菱形(如图 2),其他条件不变,结论应变为什么? 说明理由；四边形CODP是矩形。理由：先由DP//OC，DP=OC证得四边形CODP是平行四边形，再由菱形性质得∠DOC=90°，进而证得平行四边形CODP是矩形。
(3)如果(1)中的矩形变为正方形(如图 3),其他条件不变,结论又应变为什么? 说明理由。四边形CODP是正方形。理由：先由DP//OC，DP=OC证得四边形CODP是平行四边形，再由正方形性质得OC=OD，∠DOC=90°，进而证得平行四边形CODP是正方形。

答案： 【解析】：
### （1）判断四边形$CODP$的形状
已知$DP// OC$，$DP = OC$。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$CODP$是平行四边形。
又因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以$OC = OD$。
再根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$CODP$是菱形。
### （2）判断四边形$CODP$的形状
已知$DP// OC$，$DP = OC$，由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）可得四边形$CODP$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是菱形，根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，所以$\angle DOC = 90^{\circ}$。
再根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$CODP$是矩形。
### （3）判断四边形$CODP$的形状
已知$DP// OC$，$DP = OC$，根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），可知四边形$CODP$是平行四边形。
由于四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以$OC = OD$，$\angle DOC = 90^{\circ}$。
根据正方形的判定定理：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以平行四边形$CODP$是正方形。
【答案】：
（1）四边形$CODP$是菱形。理由：先由$DP// OC$，$DP = OC$证得四边形$CODP$是平行四边形，再由矩形性质得$OC = OD$，进而证得平行四边形$CODP$是菱形。
（2）四边形$CODP$是矩形。理由：先由$DP// OC$，$DP = OC$证得四边形$CODP$是平行四边形，再由菱形性质得$\angle DOC = 90^{\circ}$，进而证得平行四边形$CODP$是矩形。
（3）四边形$CODP$是正方形。理由：先由$DP// OC$，$DP = OC$证得四边形$CODP$是平行四边形，再由正方形性质得$OC = OD$，$\angle DOC = 90^{\circ}$，进而证得平行四边形$CODP$是正方形。

再别康桥
$\sqrt{\text{轻轻的}} = \sqrt{\text{我}} + \text{走了}$，正 $ - \text{如} ÷ \text{我} = \sqrt{\text{轻轻的}} ÷ \sqrt{\text{来}} $。
以上式子中相同的汉字表示 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,开平方得出的数都是整数. 这组等式有唯一答案,请说出这些汉字分别代表哪些数字.
轻=2，的=5，我=4，走=1，了=3，正=7，如=8，来=9

答案： 【解析】：
1. 首先分析$\sqrt{\text{轻轻的}}$：
因为开平方得出的数是整数，设$\sqrt{\text{轻轻的}} = n$（$n$为整数），“轻轻的”是一个三位数。
从$10^2 = 100$，$11^2 = 121$，$12^2 = 144$，$13^2 = 169$，$14^2 = 196$，$15^2 = 225$，$16^2 = 256$，$17^2 = 289$，$18^2 = 324$，$19^2 = 361$，$20^2 = 400$，$21^2 = 441$，$22^2 = 484$，$23^2 = 529$，$24^2 = 576$，$25^2 = 625$，$26^2 = 676$，$27^2 = 729$，$28^2 = 784$，$29^2 = 841$，$30^2 = 900$，$31^2 = 961$这些完全平方数中，符合“轻轻的”形式（百位和十位数字相同）的只有$225$，所以“轻”$ = 2$，“的”$ = 5$，$\sqrt{\text{轻轻的}}=\sqrt{225}=15$。
2. 然后根据$\sqrt{\text{轻轻的}}=\sqrt{\text{我}}+\text{走了}$：
已知$\sqrt{\text{轻轻的}} = 15$，设$\sqrt{\text{我}}=m$（$m$为整数），“走了”是一个两位数，且$15=m + \text{走了}$。
因为$m$是整数，“我”只能是$0$，$1$，$4$，$9$这些完全平方数对应的数字。
若“我”$ = 0$，则$\sqrt{\text{我}} = 0$，“走了”$ = 15$，不符合不同汉字代表不同数字；若“我”$ = 1$，则$\sqrt{\text{我}} = 1$，“走了”$ = 14$；若“我”$ = 4$，则$\sqrt{\text{我}} = 2$，“走了”$ = 13$；若“我”$ = 9$，则$\sqrt{\text{我}} = 3$，“走了”$ = 12$。
3. 接着根据$\text{正}-\text{如}\div\text{我}=\sqrt{\text{轻轻的}}\div\sqrt{\text{来}}$：
已知$\sqrt{\text{轻轻的}} = 15$，$\sqrt{\text{来}}$是整数，“来”只能是$0$，$1$，$4$，$9$这些完全平方数对应的数字。
因为$\text{正}-\text{如}\div\text{我}=\frac{15}{\sqrt{\text{来}}}$，且不同汉字代表不同数字。
假设“我”$ = 4$，$\sqrt{\text{我}} = 2$，“走了”$ = 13$，即“走”$ = 1$，“了”$ = 3$。
此时还剩下$6$，$7$，$8$，$9$这些数字，若“来”$ = 9$，$\sqrt{\text{来}} = 3$，$\frac{15}{\sqrt{\text{来}}}=5$。
设“正”为$x$，“如”为$y$，则$x-\frac{y}{4}=5$，当$x = 7$，$y = 8$时，$7-\frac{8}{4}=7 - 2=5$，满足等式。
4. 验证：
把“轻”$ = 2$，“的”$ = 5$，“我”$ = 4$，“走”$ = 1$，“了”$ = 3$，“正”$ = 7$，“如”$ = 8$，“来”$ = 9$代入原式：
左边$\sqrt{\text{轻轻的}}=\sqrt{225}=15$，右边$\sqrt{\text{我}}+\text{走了}=\sqrt{4}+13 = 2 + 13=15$；
左边$\text{正}-\text{如}\div\text{我}=7 - 8\div4=7 - 2 = 5$，右边$\sqrt{\text{轻轻的}}\div\sqrt{\text{来}}=15\div\sqrt{9}=15\div3 = 5$，等式成立。
【答案】：轻$ = 2$，的$ = 5$，我$ = 4$，走$ = 1$，了$ = 3$，正$ = 7$，如$ = 8$，来$ = 9$