《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

21. 阅读下列材料:我们在学习二次根式时,式子$\sqrt { x }$有意义,则$x \geq 0$;式子$\sqrt { - x }$有意义,则$x \leq 0$;若式子$\sqrt { x } + \sqrt { - x }$有意义,求$x$的取值范围.这个问题可以转化为不等式组来解决,即求关于$x$的不等式组$\left\{ \begin{array} { l } { x \geq 0, } \\ { - x \geq 0 } \end{array} \right.$的解集,解这个不等式组得$x = 0$.请你运用上述的数学方法解决下列问题:
(1)式子$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } + \sqrt { 1 - x ^ { 2 } }$有意义,求$x$的取值范围($x=\pm1$);
(2)已知$y = \sqrt { x - 2 } + \sqrt { 2 - x } - 3$,求$x ^ { y }$的值($\frac{1}{8}$).

答案： 【解析】：
(1) 要使式子$\sqrt {x^{2}-1}+\sqrt {1 - x^{2}}$有意义，则$x^{2}-1$与$1 - x^{2}$都要满足二次根式有意义的条件，可转化为不等式组$\begin{cases}x^{2}-1\geq0\\1 - x^{2}\geq0\end{cases}$。
由$x^{2}-1\geq0$可得$x^{2}\geq1$；由$1 - x^{2}\geq0$可得$x^{2}\leq1$。
所以$x^{2}=1$，解得$x=\pm1$。
(2) 要使$y = \sqrt {x - 2}+\sqrt {2 - x}-3$有意义，则$x - 2$与$2 - x$都要满足二次根式有意义的条件，可转化为不等式组$\begin{cases}x - 2\geq0\\2 - x\geq0\end{cases}$。
由$x - 2\geq0$可得$x\geq2$；由$2 - x\geq0$可得$x\leq2$。
所以$x = 2$。
把$x = 2$代入$y = \sqrt {x - 2}+\sqrt {2 - x}-3$，可得$y=\sqrt{2 - 2}+\sqrt{2 - 2}-3=-3$。
则$x^{y}=2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$。
【答案】：
(1)$x=\pm1$；
(2)$\frac{1}{8}$

22. 在$\triangle A B C$中,$a$,$b$,$c$是三角形的三边长,化简$\sqrt { ( a - b + c ) ^ { 2 } } - 2 | c - a - b |$.

答案： 【解析】：
本题可根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简。
### 步骤一：根据三角形三边关系判断$a - b + c$与$c - a - b$的正负性
在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于$a - b + c$，可变形为$a + c - b$，因为$a$、$c$为三角形的两边，所以$a + c\gt b$，即$a + c - b\gt 0$，也就是$a - b + c\gt 0$。
对于$c - a - b$，可变形为$c - (a + b)$，因为$a$、$b$为三角形的两边，所以$a + b\gt c$，即$c - (a + b)\lt 0$，也就是$c - a - b\lt 0$。
### 步骤二：根据二次根式的性质和绝对值的性质化简式子
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，对$\sqrt{(a - b + c)^2}$进行化简，因为$a - b + c\gt 0$，所以$\sqrt{(a - b + c)^2}=\vert a - b + c\vert=a - b + c$。
根据绝对值的性质，当$x\lt 0$时，$\vert x\vert=-x$，对$\vert c - a - b\vert$进行化简，因为$c - a - b\lt 0$，所以$\vert c - a - b\vert=-(c - a - b)=a + b - c$。
### 步骤三：将化简后的式子代入原式进行计算
将$\sqrt{(a - b + c)^2}=a - b + c$和$\vert c - a - b\vert=a + b - c$代入$\sqrt{(a - b + c)^2} - 2\vert c - a - b\vert$可得：
$a - b + c - 2(a + b - c)$
去括号得：$a - b + c - 2a - 2b + 2c$
合并同类项得：$(a - 2a)+(-b - 2b)+(c + 2c)= -a - 3b + 3c$
【答案】：$-a - 3b + 3c$