《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 如图,已知直线$l_1:y = 3x + 1$与$y$轴交于点$A$,且和直线$l_2:y = mx + n$交于点$P(-2,a)$.根据以上信息解答下列问题:
(1) 求$a$的值,判断直线$l_3:y = -\frac{1}{2}nx - 2m$是否也经过点$P$,并请说明理由;
$a=-5$，直线$l_3$经过点$P$，理由：因为点$P(-2,-5)$在直线$l_2:y = mx + n$上，所以$-2m + n=-5$。对于直线$l_3$，当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}n×(-2)-2m=n - 2m=-5$，故直线$l_3$经过点$P$。
(2) 不解关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases}y = 3x + 1,\\y = mx + n,\end{cases}$请你直接写出它的解;
$\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}$
(3) 若直线$l_1$,$l_2$表示的两个一次函数都大于$0$,此时恰好$x ＞ 3$,求直线$l_2$的函数解析式。
$y=x - 3$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求$a$的值并判断直线$l_3$是否经过点$P$
求$a$的值：
已知点$P(-2,a)$在直线$l_1:y = 3x + 1$上，将$x=-2$代入$y = 3x + 1$中，可得$a=3\times(-2)+1=-6 + 1=-5$。
判断直线$l_3$是否经过点$P$：
因为点$P(-2,-5)$在直线$l_2:y = mx + n$上，所以把$x=-2$，$y=-5$代入$y = mx + n$得$-2m + n=-5$。
对于直线$l_3:y = -\frac{1}{2}nx - 2m$，当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}n\times(-2)-2m=n - 2m$。
由$-2m + n=-5$可知，当$x = -2$时，$y=-5$，所以直线$l_3$经过点$P$。
### $(2)$ 求方程组的解
因为直线$l_1:y = 3x + 1$与直线$l_2:y = mx + n$交于点$P(-2,-5)$，所以方程组$\begin{cases}y = 3x + 1\\y = mx + n\end{cases}$的解就是两直线交点的坐标，即$\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}$。
### $(3)$ 求直线$l_2$的函数解析式
先求直线$l_1$中$y = 0$时$x$的值：
对于$l_1:y = 3x + 1$，令$y = 0$，则$3x+1 = 0$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
再根据条件求$m$，$n$的值：
因为直线$l_1$，$l_2$表示的两个一次函数都大于$0$时恰好$x\gt3$，所以直线$l_2$过点$(3,0)$，又因为直线$l_2$过点$P(-2,-5)$。
把$(3,0)$和$(-2,-5)$代入$y = mx + n$得$\begin{cases}3m + n=0\\-2m + n=-5\end{cases}$，
用$3m + n=0$减去$-2m + n=-5$，即$(3m + n)-(-2m + n)=0-(-5)$，
$3m + n + 2m - n=5$，$5m=5$，解得$m = 1$。
把$m = 1$代入$3m + n=0$，得$3\times1 + n=0$，解得$n=-3$。
所以直线$l_2$的函数解析式为$y=x - 3$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{a=-5}$，直线$l_3$经过点$P$，理由见上述解析；
$(2)$$\boldsymbol{\begin{cases}x=-2\\y=-5\end{cases}}$；
$(3)$$\boldsymbol{y=x - 3}$。

边境哨所
在边境哨所,某班的$12$名战士执行夜间放哨任务,他们的值勤时间是下午$6$时至凌晨$6$时。$12$名战士巡逻$12$小时,每人恰好$1$小时,每逢整点换班。这天,一名战士病了,于是,其余$11$名战士每人需巡逻$1\frac{1}{11}$小时,这样一来,换班时间就不像原来那样有规律了,大家看着墙上的挂钟,都在想,怎么办呢? 一名小战士突然若有所悟地说:“有了,我想出了一个办法,使换班时间既准确又简单。”
你知道他想出了什么办法吗?

答案： 【解析】：下午6时至凌晨6时，时针和分针在这段时间内会多次成直线。正常情况下12名战士每人1小时整点换班，现在11名战士每人巡逻$1\frac{1}{11}$小时，时间间隔不再是整点。而时针和分针成直线的时间间隔是固定且有规律的，在12小时内时针和分针成直线的次数是11次，正好可以对应11名战士的换班，所以每次时针和分针成直线时换岗能使换班时间既准确又简单。
【答案】：每次时针和分针成直线时换岗。