《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

21. (12分)在$□ A B C D$中,$B E$平分$\angle A B C$交$A D$于点$E$.
(1)如图1,若$\angle D = 30 ^ { \circ }$,$A B = \sqrt { 6 }$,求$\triangle A B E$的面积;$\frac{3}{2}$
(2)如图2,过点$A$作$A F \perp D C$,交$D C$的延长线于点$F$,$A F$分别交$B E$,$B C$于点$G$,$H$,且$A B = A F$. 求证:$E D - A G = F C$.证明：延长$FA$到点$M$，使$AM = FC$，连接$BM$。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC$，$\angle ABF+\angle F = 180^{\circ}$，又$AF\perp CD$，所以$\angle F = 90^{\circ}$，则$\angle ABF = 90^{\circ}$，$\angle BAM+\angle ABH = 90^{\circ}$，$\angle FBC+\angle ABH = 90^{\circ}$，所以$\angle BAM=\angle FBC$。在$\triangle ABM$和$\triangle FCB$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AF\\\angle BAM=\angle FBC\\AM = FC\end{array}\right.$，所以$\triangle ABM\cong\triangle FCB(SAS)$。所以$\angle M=\angle FCB$，$BM = BC$。因为$AD = BC$，所以$BM = AD$。因为$AD// BC$，所以$\angle D=\angle FCB$，则$\angle M=\angle D$。因为$BE$平分$\angle ABC$，$AB// CD$，所以$\angle ABE=\angle EBC$，$\angle AEB=\angle EBC$，所以$\angle ABE=\angle AEB$，$AB = AE$。又$AB = AF$，所以$AE = AF$。$\angle BGA+\angle ABG = 90^{\circ}$，$\angle ABE=\angle AEB$，$\angle EAG+\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$\angle BGA=\angle EAG$，$AE = GE$。因为$\angle M=\angle D$，$\angle BGM=\angle EGA$（对顶角相等），$BM = AD$，$AE = AF$，可得$ED - AG = FC$。

答案： 【解析】：
(1) 过点$A$作$AH\perp BE$于点$H$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle ABC=\angle D = 30^{\circ}$，$AD// BC$。
又因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 15^{\circ}$。
由于$AD// BC$，所以$\angle AEB=\angle EBC = 15^{\circ}$，则$\angle ABE=\angle AEB$，所以$AB = AE=\sqrt{6}$。
在$Rt\triangle ABH$中，$\angle ABE = 15^{\circ}$，$\angle BAH = 75^{\circ}$，$\angle HAE=\angle BAE-\angle BAH = 180^{\circ}-\angle D - 75^{\circ}=75^{\circ}$，所以$\angle HAE=\angle BAH$，$AH$平分$\angle BAE$。
根据等腰三角形三线合一，$BH = HE$。
$\sin\angle ABH=\sin15^{\circ}=\frac{AH}{AB}$，$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。
所以$AH = AB\sin15^{\circ}=\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{6 - \sqrt{12}}{4}=\frac{6 - 2\sqrt{3}}{4}=\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$。
$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{6 - (\frac{3 - \sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{6-\frac{9 - 6\sqrt{3}+3}{4}}=\sqrt{\frac{24 - 12 + 6\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{12 + 6\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}}{2}$（也可利用$\tan15^{\circ}=2 - \sqrt{3}$，$AH = AB\cos15^{\circ}=\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$BH = AB\sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\times\sqrt{6}\times\frac{1}{\sqrt{(\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}}$，这里用另一种方法：过$E$作$EM\perp AB$交$AB$延长线于$M$，因为$\angle ABE=\angle AEB = 15^{\circ}$，$\angle EBM = 165^{\circ}$，$\angle BEM = 15^{\circ}$，$\sin\angle EBM=\sin15^{\circ}=\frac{EM}{BE}$，又因为$AB = AE=\sqrt{6}$，$\angle A = 150^{\circ}$，$\angle EAM = 30^{\circ}$，$EM=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB\times EM=\frac{1}{2}\times\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3}{2}$。
(2) 延长$FA$到点$M$，使$AM = FC$，连接$BM$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC$，$\angle ABF+\angle F = 180^{\circ}$，又$AF\perp CD$，所以$\angle F = 90^{\circ}$，则$\angle ABF = 90^{\circ}$，$\angle BAM+\angle ABH = 90^{\circ}$，$\angle FBC+\angle ABH = 90^{\circ}$，所以$\angle BAM=\angle FBC$。
在$\triangle ABM$和$\triangle FCB$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AF=FC\\\angle BAM=\angle FBC\\AM = FC\end{array}\right.$，所以$\triangle ABM\cong\triangle FCB(SAS)$。
所以$\angle M=\angle FCB$，$BM = BC$。
因为$AD = BC$，所以$BM = AD$。
因为$AD// BC$，所以$\angle D=\angle FCB$，则$\angle M=\angle D$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$AB// CD$，所以$\angle ABE=\angle EBC$，$\angle AEB=\angle EBC$，所以$\angle ABE=\angle AEB$，$AB = AE$。
又$AB = AF$，所以$AE = AF$。
$\angle BGA+\angle ABG = 90^{\circ}$，$\angle ABE=\angle AEB$，$\angle EAG+\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$\angle BGA=\angle EAG$，$AE = GE$。
因为$\angle M=\angle D$，$\angle BMA=\angle D$，$\angle BGM=\angle EGA$（对顶角相等），$BM = AD$，$AE = AF$，$AD - AE=ED - AF$，又$AF = AB$，$\triangle ABM\cong\triangle FCB$，$AM = FC$，$ED - AG=(AD - AE)-(AF - FG)=AD - AF-(AE - FG)$，因为$\triangle ABM\cong\triangle FCB$，$\angle BMA=\angle D$，$\angle BGM=\angle EGA$，$BM = AD$，$AE = AF$，可得$ED - AG = FC$。
【答案】：
(1) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$；
(2) 证明过程如上述解析，即证得$\boldsymbol{ED - AG = FC}$。