《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 在平面直角坐标系中画出直线$y = \frac{1}{3}x + 1$的图象,并根据图象回答下列问题:
(1) 写出直线与$x$轴,$y$轴的交点坐标;与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$，与$y$轴交点坐标为$(0,1)$
(2) 求出直线与坐标轴围成的三角形的面积;$\frac{3}{2}$
(3) 若直线$y = kx + b$与直线$y = \frac{1}{2}x + 1$关于$y$轴对称,求$k$,$b$的值。$k=-\frac{1}{3}$，$b = 1$

答案： 【解析】：
### 1. 画直线$y = \frac{1}{3}x + 1$的图象
- 对于一次函数$y=mx + n$（$m\neq0$），通常取两个点来确定直线。
- 当$x = 0$时，$y=\frac{1}{3}\times0 + 1=1$，得到点$(0,1)$；
- 当$y = 0$时，$0=\frac{1}{3}x + 1$，解方程$\frac{1}{3}x=-1$，得$x=-3$，得到点$(-3,0)$。
- 在平面直角坐标系中，描出点$(0,1)$和$(-3,0)$，然后过这两点画直线，就得到$y = \frac{1}{3}x + 1$的图象。
### 2. 求直线与$x$轴，$y$轴的交点坐标
- 与$y$轴相交时，$x = 0$，把$x = 0$代入$y=\frac{1}{3}x + 1$，得$y = 1$，所以与$y$轴交点坐标为$(0,1)$。
- 与$x$轴相交时，$y = 0$，把$y = 0$代入$y=\frac{1}{3}x + 1$，即$0=\frac{1}{3}x + 1$，解得$x=-3$，所以与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$。
### 3. 求直线与坐标轴围成的三角形的面积
- 直线与$x$轴交点坐标为$A(-3,0)$，与$y$轴交点坐标为$B(0,1)$。
- 那么直线与坐标轴围成的三角形是以$OA$为底边，$OB$为高的直角三角形（$O$为坐标原点）。
- 根据坐标可知$OA=\vert - 3\vert=3$，$OB = 1$。
- 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$S=\frac{1}{2}\times OA\times OB=\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{3}{2}$。
### 4. 求$y = kx + b$中$k$，$b$的值
- 设点$(x,y)$在直线$y = kx + b$上，因为直线$y = kx + b$与直线$y=\frac{1}{3}x + 1$关于$y$轴对称，则点$(-x,y)$在直线$y=\frac{1}{3}x + 1$上。
- 把$(-x,y)$代入$y=\frac{1}{3}x + 1$，得$y=\frac{1}{3}(-x)+1=-\frac{1}{3}x + 1$。
- 所以$k=-\frac{1}{3}$，$b = 1$。
【答案】：
(1) 与$x$轴交点坐标为$(-3,0)$，与$y$轴交点坐标为$(0,1)$；
(2)$\frac{3}{2}$；
(3)$k=-\frac{1}{3}$，$b = 1$。

21. 如图,直线$l_1:y = x + 1$与直线$l_2:y = mx + n$相交于点$P(1,b)$。
(1) 求$b$的值;2
(2) 不解关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases}y = x + 1,\\y = mx + n,\end{cases}$请你直接写出它的解;$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$
(3) 直线$l_3:y = nx + m$是否也经过点$P$? 请说明理由。直线$l_3$经过点$P$

答案： 【解析】：
(1) 因为点$P(1,b)$在直线$y = x + 1$上，将$x = 1$代入$y = x + 1$，可得$b = 1 + 1 = 2$。
(2) 方程组$\begin{cases}y = x + 1\\y = mx + n\end{cases}$的解就是直线$l_1$与直线$l_2$的交点坐标，已知交点$P(1,2)$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
(3) 因为点$P(1,2)$在直线$l_2:y = mx + n$上，所以把$x = 1$，$y = 2$代入$y = mx + n$得$m + n = 2$。
对于直线$l_3:y = nx + m$，当$x = 1$时，$y = n\times1 + m = m + n$，因为$m + n = 2$，所以$y = 2$，即直线$l_3$也经过点$P(1,2)$。
【答案】：
(1)$b = 2$
(2)$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$
(3)直线$l_3$经过点$P$