《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 如图是某住宅小区在施工过程中留下的一块空地,已知$AD=4m,CD=3m,∠ADC=90^{\circ },AB=13m,BC=12m$,求这块空地的面积.

24m²

答案： 【解析】：连接$AC$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AD = 4m$，$CD = 3m$，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，可得$AC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=5m$。
在$\triangle ABC$中，$AC = 5m$，$BC = 12m$，$AB = 13m$，因为$AC^{2}+BC^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$AB^{2}=13^{2}=169$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，根据勾股定理逆定理可知$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\times BC=\frac{1}{2}\times5\times12 = 30m^{2}$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\times CD=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6m^{2}$。
所以这块空地的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADC}=30 - 6=24m^{2}$。
【答案】：$24m^{2}$

21. 如图,在$△ABC$中,$AB:BC:CA=3:4:5$,且$△ABC$的周长为$36cm$.点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以每秒$1cm$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以每秒$2cm$的速度移动,如果同时出发,问过$3s$时,$△BPQ$的面积为多少?

$18cm^{2}$

答案： 【解析】：
已知$AB:BC:CA = 3:4:5$，设$AB = 3x cm$，$BC = 4x cm$，$CA = 5x cm$。
因为$\triangle ABC$的周长为$36cm$，则$3x + 4x + 5x = 36$，
$12x = 36$，解得$x = 3$。
所以$AB = 9cm$，$BC = 12cm$。
过$3s$时，$AP = 1×3 = 3cm$，则$BP = AB - AP = 9 - 3 = 6cm$；
$BQ = 2×3 = 6cm$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=9^{2}+12^{2}=81 + 144 = 225$，$CA^{2}=5^{2}×3^{2}=225$，所以$AB^{2}+BC^{2}=CA^{2}$，根据勾股定理逆定理可知$\angle B = 90^{\circ}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$\triangle BPQ$，$BP$为底，$BQ$为高，所以$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ$。
把$BP = 6cm$，$BQ = 6cm$代入可得：$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}×6×6 = 18cm^{2}$。
【答案】：$18cm^{2}$