《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 如图,$□ ABCD$中,$P$是$CD$上一点,且$AP$和$BP$分别平分$\angle DAB$和$\angle CBA$.
(1)求$\angle APB$的度数;$90^{\circ}$
(2)如果$AD = 5\mathrm{cm}$,$AP = 8\mathrm{cm}$,求$\triangle APB$的周长.$24\mathrm{cm}$

答案： 【解析】：
(1)
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle DAB+\angle CBA = 180^{\circ}$。
又因为$AP$和$BP$分别平分$\angle DAB$和$\angle CBA$，所以$\angle PAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle PBA=\frac{1}{2}\angle CBA$。
那么$\angle PAB+\angle PBA=\frac{1}{2}(\angle DAB+\angle CBA)=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle APB$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle APB = 180^{\circ}-(\angle PAB+\angle PBA)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
(2)
因为$AB// CD$，所以$\angle PAB=\angle DPA$，又因为$\angle PAB=\angle DAP$，所以$\angle DAP=\angle DPA$，则$AD = DP = 5cm$。
同理可得$PC = CB$，因为$AD = BC$，所以$PC = AD = 5cm$，那么$AB = CD = DP + PC = 5 + 5 = 10cm$。
在$Rt\triangle APB$中，$AB = 10cm$，$AP = 8cm$，根据勾股定理$BP=\sqrt{AB^{2}-AP^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
所以$\triangle APB$的周长为$AP + BP + AB = 8 + 6 + 10 = 24cm$。
【答案】：
(1)$90^{\circ}$
(2)$24cm$

21. 如图,在$□ ABCD$中,点$E$和点$F$是对角线$BD$上的两点,且$BF = DE$.求证:
(1)$BE = DF$;
证明：已知$BF = DE$，根据等式的基本性质，在等式两边同时减去$EF$，等式仍然成立。即$BF - EF = DE - EF$，所以$BE = DF$。
(2)$\triangle ABE\cong\triangle CDF$.
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，所以$AB = CD$，且$AB// CD$。由$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ABE=\angle CDF$。在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle ABE=\angle CDF\\BE = DF\end{array}\right.$。根据全等三角形判定定理中的$SAS$，可以判定$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。

答案： 【解析】：
(1)已知$BF = DE$，根据等式的基本性质，在等式两边同时减去$EF$，等式仍然成立。
即$BF - EF = DE - EF$，所以$BE = DF$。
(2)因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，所以$AB = CD$，且$AB// CD$。
由$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle ABE=\angle CDF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle ABE=\angle CDF\\BE = DF\end{array}\right.$。
根据全等三角形判定定理中的“边角边”（$SAS$），可以判定$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
【答案】：
(1) $BE = DF$得证；
(2) $\triangle ABE\cong\triangle CDF$得证。