《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 根据爱因斯坦的相对论,当地面上经过$1s$时,宇宙飞船内只经过$\sqrt {1-(\frac {v}{c})^{2}}s$.公式内的$v$是指宇宙飞船的速度,$c$是指光速(约30万$km/s$).假设有一对亲兄弟,哥哥23岁,弟弟20岁,哥哥在以光速的$\frac {49}{50}$的速度飞行的宇宙飞船内进行了5年旅行,这5年是地面上的5年,所以弟弟25岁,可是哥哥在这段时间只长了1岁,只有24岁,这样弟弟反而比哥哥大了1岁.请你用上面的公式验证这个结论.

答案： 【解析】：
本题可根据已知条件求出宇宙飞船内经过的时间，再结合哥哥出发时的年龄，判断验证结论是否正确。
- **步骤一：明确公式中各量的值**
已知地面上经过的时间$t_{地}=5$年，宇宙飞船的速度$v = \frac{49}{50}c$，将$v = \frac{49}{50}c$代入公式$t_{船}=\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}t_{地}$中，计算宇宙飞船内经过的时间$t_{船}$。
- **步骤二：计算宇宙飞船内经过的时间$t_{船}$**
将$v = \frac{49}{50}c$代入公式$t_{船}=\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}t_{地}$可得：
$t_{船}=\sqrt{1 - (\frac{\frac{49}{50}c}{c})^2}\times5=\sqrt{1 - (\frac{49}{50})^2}\times5$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对上式进一步化简：
$t_{船}=\sqrt{(1 + \frac{49}{50})(1 - \frac{49}{50})}\times5=\sqrt{\frac{99}{50}\times\frac{1}{50}}\times5=\frac{\sqrt{99}}{50}\times5=\frac{\sqrt{99}}{10}\approx1$（年）
- **步骤三：验证结论**
哥哥出发时$23$岁，经过约$1$年的飞行后，哥哥的年龄为$23 + 1 = 24$岁；
弟弟在地面上经过了$5$年，弟弟出发时$20$岁，那么弟弟的年龄为$20 + 5 = 25$岁。
所以弟弟反而比哥哥大了$25 - 24 = 1$岁，结论正确。
【答案】：
将$v = \frac{49}{50}c$，$t_{地}=5$代入$t_{船}=\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}t_{地}$，可得$t_{船}=\sqrt{1 - (\frac{49}{50})^2}\times5=\frac{\sqrt{99}}{10}\approx1$（年）。
哥哥出发时$23$岁，经过约$1$年的飞行后，哥哥$24$岁；弟弟在地面上经过$5$年，弟弟$25$岁，所以弟弟比哥哥大$1$岁，结论正确。