《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. (6分)计算:
(1)$\sqrt { 14 } \div \sqrt { 6 } \times \sqrt { \frac { 27 } { 2 } }$;
(2)$( \sqrt { 0. 5 } - 2 \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } ) - ( \sqrt { \frac { 1 } { 8 } } - \sqrt { 75 } )$;
(3)$( 7 + 4 \sqrt { 3 } ) ( 7 - 4 \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$.

答案： 【解析】：
(1)
根据二次根式的乘除运算法则$\sqrt{a}\div\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq0,b ＞ 0$）来计算：
$\begin{aligned}\sqrt{14}\div\sqrt{6}\times\sqrt{\frac{27}{2}}&=\sqrt{\frac{14}{6}}\times\sqrt{\frac{27}{2}}\\&=\sqrt{\frac{14}{6}\times\frac{27}{2}}\\&=\sqrt{\frac{14\times27}{12}}\\&=\sqrt{\frac{7\times9}{2}}\\&=\sqrt{\frac{63}{2}}\\&=\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{9\times7}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{3\sqrt{7}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\&=\frac{3\sqrt{14}}{2}\end{aligned}$
(2)
先将各项二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$2\sqrt{\frac{1}{3}} = 2\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}$。
然后去括号并合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&(\sqrt{0.5}-2\sqrt{\frac{1}{3}})-(\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{75})\\=&\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{4}+5\sqrt{3}\\=&(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})+(5\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3})\\=&\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{4}+\frac{15\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{13\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(3)
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$和完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$来计算：
对于$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})$，这里$a = 7$，$b = 4\sqrt{3}$，则$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})=7^{2}-(4\sqrt{3})^{2}=49 - 48 = 1$。
对于$(\sqrt{3}-1)^{2}$，这里$a=\sqrt{3}$，$b = 1$，则$(\sqrt{3}-1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}-2\times\sqrt{3}\times1+1^{2}=3 - 2\sqrt{3}+1=4 - 2\sqrt{3}$。
所以$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})-(\sqrt{3}-1)^{2}=1-(4 - 2\sqrt{3})=1 - 4+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3$。
【答案】：
(1)$\frac{3\sqrt{14}}{2}$；
(2)$\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{13\sqrt{3}}{3}$；
(3)$2\sqrt{3}-3$

18. (6分)如图,在$□ A B C D$中,$D F$平分$\angle A D C$,交$A B$于点$F$,$B E // D F$,交$A D$的延长线于点$E$. 若$\angle A = 40 ^ { \circ }$,求$\angle A B E$的度数.

$70^{\circ}$

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle ADC + \angle A = 180^{\circ}$。
- 已知$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}- 40^{\circ}=140^{\circ}$。
- 因为$DF$平分$\angle ADC$，所以$\angle ADF=\frac{1}{2}\angle ADC=\frac{1}{2}\times140^{\circ} = 70^{\circ}$。
- 又因为$BE// DF$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle ABE=\angle AFD$。
- 再根据$AB// CD$，可得$\angle AFD=\angle CDF$（两直线平行，内错角相等），而$\angle ADF = \angle CDF = 70^{\circ}$，所以$\angle ABE = 70^{\circ}$。
【答案】：$70^{\circ}$