《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$分别在$x$轴,$y$轴上,线段$OA$,$OB$的长$(OA ＜ OB)$是方程组$\begin{cases}2x = y,\\3x - y = 6\end{cases}$的解,点$C$是直线$y = 2x$与直线$AB$的交点,点$D$在线段$OC$上,$OD = 2\sqrt{5}$.
(1)求点$C$的坐标;(3,6)
(2)求直线$AD$的解析式;$y=-x + 6$
(3)$P$是直线$AD$上的点,在平面内是否存在点$Q$,使以点$O$,$A$,$P$,$Q$为顶点的四边形是菱形.若存在,请写出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.存在，点$Q$的坐标为$(3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$或$(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$或$(3,-3)$

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$C$的坐标
解方程组$\begin{cases}2x = y\\3x - y = 6\end{cases}$，
将$y = 2x$代入$3x - y = 6$，得$3x-2x = 6$，解得$x = 6$，
把$x = 6$代入$y = 2x$，得$y = 12$，
所以$OA = 6$，$OB = 12$，则$A(6,0)$，$B(0,12)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx + b$，把$A(6,0)$，$B(0,12)$代入可得$\begin{cases}6k + b = 0\\b = 12\end{cases}$，
将$b = 12$代入$6k + b = 0$，得$6k+12 = 0$，解得$k=-2$，
所以直线$AB$的解析式为$y=-2x + 12$。
联立$\begin{cases}y = 2x\\y=-2x + 12\end{cases}$，
将$y = 2x$代入$y=-2x + 12$，得$2x=-2x + 12$，
$4x = 12$，解得$x = 3$，
把$x = 3$代入$y = 2x$，得$y = 6$，
所以点$C$的坐标为$(3,6)$。
### $(2)$求直线$AD$的解析式
设$D(x,2x)$，因为$OD = 2\sqrt{5}$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}$（这里$O(0,0)$，$D(x,2x)$），则$\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\sqrt{5x^{2}}=2\sqrt{5}$，$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$（因为$D$在线段$OC$上，所以舍去$x=-2$），
所以$D(2,4)$。
设直线$AD$的解析式为$y=mx + n$，把$A(6,0)$，$D(2,4)$代入可得$\begin{cases}6m + n = 0\\2m + n = 4\end{cases}$，
两式相减：$(6m + n)-(2m + n)=0 - 4$，
$6m + n - 2m - n=-4$，$4m=-4$，解得$m=-1$，
把$m=-1$代入$6m + n = 0$，得$-6 + n = 0$，解得$n = 6$，
所以直线$AD$的解析式为$y=-x + 6$。
### $(3)$判断是否存在点$Q$使以点$O$，$A$，$P$，$Q$为顶点的四边形是菱形
设$P(t,-t + 6)$。
**当$OA$为边时**：
若$OA// PQ$，$OA = PQ = 6$，且$OP = OA = 6$，
根据两点间距离公式$\sqrt{t^{2}+(-t + 6)^{2}}=6$，
$t^{2}+t^{2}-12t + 36 = 6$，$2t^{2}-12t=0$，$t^{2}-6t = 0$，$t(t - 6)=0$，解得$t = 0$（舍去）或$t = 6$（舍去）。
若$OA// PQ$，$OA = PQ = 6$，且$AP = OA = 6$，
$\sqrt{(t - 6)^{2}+(-t + 6)^{2}}=6$，$(t - 6)^{2}=18$，$t-6=\pm3\sqrt{2}$，解得$t = 6\pm3\sqrt{2}$。
当$t = 6 + 3\sqrt{2}$时，$P(6 + 3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$，因为$O(0,0)$，$A(6,0)$，$OA// PQ$，$OA = PQ$，所以$Q(3\sqrt{2},-3\sqrt{2})$；
当$t = 6 - 3\sqrt{2}$时，$P(6 - 3\sqrt{2},3\sqrt{2})$，所以$Q(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
**当$OA$为对角线时**：
$OA$与$PQ$互相垂直平分，$OA$中点坐标为$(3,0)$，则$P$点横坐标为$3$，把$x = 3$代入$y=-x + 6$得$y = 3$，$P(3,3)$，所以$Q(3,-3)$。
【答案】：
$(1)$点$C$的坐标为$\boldsymbol{(3,6)}$；
$(2)$直线$AD$的解析式为$\boldsymbol{y=-x + 6}$；
$(3)$存在，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(3\sqrt{2},-3\sqrt{2})}$或$\boldsymbol{(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})}$或$\boldsymbol{(3,-3)}$。

袋中有几只球?
有个袋子里装有$n$只球,每次取出$\frac{n}{2}$只球,然后,又往袋中放回$1$只球,这样取了$2013$次后,袋里剩下$2$只球.亲爱的同学们,你们知道袋子里原来有几只球吗?
同学们,这是个有趣的问题,只要你们开动脑筋,就会很快得出答案.

答案： 【解析】：我们可以采用倒推的方法来分析。设第$k$次取球后袋中球的数量为$a_{k}$个。已知取了$2013$次后袋里剩下$2$只球，即$a_{2013}=2$。根据取球规则，每次取出$\frac{n}{2}$只球，然后又往袋中放回$1$只球，那么有$a_{k}=a_{k - 1}-\frac{a_{k - 1}}{2}+1=\frac{a_{k - 1}}{2}+1$。我们对其进行变形可得$a_{k}-2=\frac{1}{2}(a_{k - 1}-2)$。这表明$\{a_{k}-2\}$是一个等比数列，公比为$\frac{1}{2}$。由此可得$a_{k}-2=(a_{0}-2)\times(\frac{1}{2})^{k}$（$a_{0}$表示袋中原来球的数量）。当$k = 2013$时，$a_{2013}-2=(a_{0}-2)\times(\frac{1}{2})^{2013}$，又因为$a_{2013}=2$，所以$(a_{0}-2)\times(\frac{1}{2})^{2013}=0$，那么$a_{0}-2 = 0$，即$a_{0}=2$，所以袋中原来只有$2$只球。
【答案】：$2$只