《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300km和400km,又知$AB=500km$,以台风中心为圆心,周围250km以内为受影响区域.
(1)海港C受台风影响吗? 为什么?
受台风影响，因为C到AB的距离为240km，小于250km。
(2)若台风的速度为20km/h,台风影响该海港持续的时间有多长?
7h

答案： 【解析】：
(1) 首先根据勾股定理的逆定理判断$\triangle ABC$的形状，再求$C$到$AB$的距离。
已知$AC = 300km$，$BC = 400km$，$AB = 500km$。
因为$300^{2}+400^{2}=90000 + 160000=250000$，$500^{2}=250000$，即$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$。
设$C$到$AB$的距离为$CD$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
则$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{300\times400}{500}=240(km)$。
因为$240\lt250$，所以海港$C$受台风影响。
(2) 设台风中心移动到$E$处时开始影响$C$，移动到$F$处时结束对$C$的影响。
则$CE = CF = 250km$。
在$Rt\triangle CDE$中，根据勾股定理$DE=\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}=\sqrt{250^{2}-240^{2}}=\sqrt{(250 + 240)(250 - 240)}=\sqrt{490\times10}=\sqrt{4900}=70(km)$。
同理$DF = 70km$，所以$EF=DE + DF=140km$。
已知台风速度$v = 20km/h$，根据时间$t=\frac{s}{v}$，则台风影响该海港持续的时间$t=\frac{140}{20}=7(h)$。
【答案】：
(1) 海港$C$受台风影响，因为$C$到$AB$的距离$CD = 240km\lt250km$。
(2) $7h$。