《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象经过点$(4,3)$,$(-2,0)$,且与$y$轴交于点$A$.
(1)求该函数的解析式及点$A$的坐标;函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$，点$A$的坐标为$(0,1)$
(2)当$x ＞ 0$时,对于$x$的每一个值,函数$y = x + n$的值大于函数$y = kx + b(k \neq 0)$的值,直接写出$n$的取值范围.$n\geqslant1$

答案： 【解析】：
(1)已知函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象经过点$(4,3)$，$( - 2,0)$，将这两点代入函数可得方程组$\begin{cases}4k + b = 3\\-2k + b = 0\end{cases}$。
用第一个方程$4k + b = 3$减去第二个方程$-2k + b = 0$消去$b$：
$(4k + b)-(-2k + b)=3 - 0$，
$4k + b + 2k - b = 3$，
$6k = 3$，
解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入$-2k + b = 0$，可得$-2\times\frac{1}{2}+b = 0$，即$-1 + b = 0$，解得$b = 1$。
所以该函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$。
因为函数与$y$轴交于点$A$，在$y$轴上的点横坐标为$0$，把$x = 0$代入$y=\frac{1}{2}x + 1$，得$y=\frac{1}{2}\times0 + 1=1$，所以点$A$的坐标为$(0,1)$。
(2)当$x\gt0$时，对于$x$的每一个值，函数$y = x + n$的值大于函数$y=\frac{1}{2}x + 1$的值，即$x + n\gt\frac{1}{2}x + 1$在$x\gt0$时恒成立。
移项可得$x + n-\frac{1}{2}x - 1\gt0$，即$\frac{1}{2}x+(n - 1)\gt0$。
设$y_1=\frac{1}{2}x+(n - 1)$，因为$\frac{1}{2}\gt0$，所以$y_1$随$x$的增大而增大。
当$x = 0$时，$y_1=n - 1$，要使$\frac{1}{2}x+(n - 1)\gt0$在$x\gt0$时恒成立，则当$x = 0$时，$y_1\geqslant0$（当$x = 0$时取等号，因为$x\gt0$，不影响$x\gt0$时不等式恒成立），即$n - 1\geqslant0$，解得$n\geqslant1$。
【答案】：
(1)函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 1$，点$A$的坐标为$(0,1)$；
(2)$n\geqslant1$

18. 如图,直线$y = kx + b$经过点$A(-5,0)$,$B(-1,4)$,与$y$轴交于点$D$.直线$CE:y = -2x - 4$与直线$AB$交于点$C$,与$y$轴交于点$E$.
(1)求点$D$的坐标;$(0,5)$
(2)求直线$CE$与直线$AB$及$y$轴围成图形的面积;$\frac{27}{2}$
(3)根据图象,直接写出关于$x$的不等式$kx + b ＞ -2x - 4$的解集.$x＞-3$

答案： 【解析】：
### $(1)$求点$D$的坐标
已知直线$y = kx + b$经过点$A(-5,0)$，$B(-1,4)$，将点代入直线方程可得方程组$\begin{cases}-5k + b = 0 \\ -k + b = 4 \end{cases}$。
用第二个方程$-k + b = 4$减去第一个方程$-5k + b = 0$，即$(-k + b)-(-5k + b)=4 - 0$，
去括号得$-k + b + 5k - b = 4$，
合并同类项得$4k = 4$，解得$k = 1$。
把$k = 1$代入$-k + b = 4$，得$-1 + b = 4$，解得$b = 5$。
所以直线$AB$的解析式为$y = x + 5$。
令$x = 0$，则$y = 0 + 5 = 5$，所以点$D$的坐标为$(0,5)$。
### $(2)$求直线$CE$与直线$AB$及$y$轴围成图形的面积
联立直线$AB$与直线$CE$的方程$\begin{cases}y = x + 5 \\ y = -2x - 4 \end{cases}$，
即$x + 5 = -2x - 4$，
移项得$x + 2x = -4 - 5$，
合并同类项得$3x = -9$，解得$x = -3$。
把$x = -3$代入$y = x + 5$，得$y = -3 + 5 = 2$，所以点$C$的坐标为$(-3,2)$。
对于直线$y = -2x - 4$，令$x = 0$，则$y = -4$，所以点$E$的坐标为$(0,-4)$。
那么$DE=5 - (-4)=9$。
直线$CE$与直线$AB$及$y$轴围成的图形为$\triangle CDE$，点$C$到$y$轴的距离$h=\vert - 3\vert = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，这里底为$DE$，高为点$C$到$y$轴的距离，所以$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}\times DE\times\vert x_{C}\vert=\frac{1}{2}\times9\times3=\frac{27}{2}$。
### $(3)$求不等式$kx + b ＞ -2x - 4$的解集
不等式$kx + b ＞ -2x - 4$的解集，就是直线$y = kx + b$的图象在直线$y = -2x - 4$图象上方时$x$的取值范围。
由图象可知，当$x＞-3$时，直线$y = x + 5$（即$y = kx + b$，$k = 1$，$b = 5$）在直线$y = -2x - 4$的上方。
【答案】：
$(1)$$(0,5)$；
$(2)$$\frac{27}{2}$；
$(3)$$x＞-3$。