《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 如图,线段 DE,AF 分别为$△ABC$的中位线和中线.
(1)求证:AF 与 DE 互相平分;
证明：连接DF、EF。
已知DE是$\triangle ABC$的中位线，根据中位线定义，D、E分别是AB、AC的中点。
又因为AF是$\triangle ABC$的中线，所以F是BC的中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
可得DF// AC，$DF = \frac{1}{2}AC$，$AE=\frac{1}{2}AC$，所以DF// AE且DF = AE。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形ADFE是平行四边形。
再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，所以AF与DE互相平分。
(2)当线段 AF 与 BC 满足怎样的数量关系时,四边形 ADFE 为矩形? 请说明理由.
当线段AF与BC满足$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形ADFE为矩形。
理由如下：
因为DE是$\triangle ABC$的中位线，所以$DE=\frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
又因为$AF = \frac{1}{2}BC$，所以DE = AF。
由(1)知四边形ADFE是平行四边形，再根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，可知当DE = AF时，平行四边形ADFE为矩形。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AF$与$DE$互相平分
连接$DF$、$EF$。
已知$DE$是$\triangle ABC$的中位线，根据中位线定义，$D$、$E$分别是$AB$、$AC$的中点。
又因为$AF$是$\triangle ABC$的中线，所以$F$是$BC$的中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
可得$DF// AC$，$DF = \frac{1}{2}AC$，$AE=\frac{1}{2}AC$，所以$DF// AE$且$DF = AE$。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形$ADFE$是平行四边形。
再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，所以$AF$与$DE$互相平分。
### $(2)$ 求当线段$AF$与$BC$满足怎样的数量关系时，四边形$ADFE$为矩形
当$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形$ADFE$为矩形。
理由如下：
因为$DE$是$\triangle ABC$的中位线，所以$DE=\frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
又因为$AF = \frac{1}{2}BC$，所以$DE = AF$。
由$(1)$知四边形$ADFE$是平行四边形，再根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，可知当$DE = AF$时，平行四边形$ADFE$为矩形。
【答案】：
$(1)$ 连接$DF$、$EF$，证得四边形$ADFE$是平行四边形，从而$AF$与$DE$互相平分；$(2)$ 当$\boldsymbol{AF=\frac{1}{2}BC}$时，四边形$ADFE$为矩形，理由见上述解析。

21. 如图,在$△ABC$中,点 O 是 AC 边上一个动点,过点 O 作直线$MN// BC$,设 MN 交$∠BCA$的平分线于 E,交$∠BCA$的外角平分线于点 F.
(1)求证:$OE=OF$;
证明：因为$CE$平分$\angle BCA$，所以$\angle BCE = \angle ACE$。又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle OEC=\angle BCE$。所以$\angle OEC = \angle ACE$，根据等角对等边，可得$OE = OC$。同理，因为$CF$平分$\angle ACD$（$\angle ACD$为$\angle BCA$的外角），所以$\angle ACF=\angle DCF$。又因为$MN// BC$，所以$\angle OFC=\angle DCF$。所以$\angle OFC=\angle ACF$，根据等角对等边，可得$OF = OC$。所以$OE = OF$。
(2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形? 并证明你的结论.
当点 O 运动到AC 中点时，四边形 AECF 是矩形。
证明：因为 O 是 AC 中点，所以$OA = OC$。又由(1)知$OE = OF$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形 AECF 是平行四边形。因为$CE$平分$\angle BCA$，$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle ECF=\angle ACE+\angle ACF=\frac{1}{2}(\angle BCA+\angle ACD)$。因为$\angle BCA+\angle ACD = 180^{\circ}$（平角定义），所以$\angle ECF = 90^{\circ}$。根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形 AECF 是矩形。

答案： 【解析】：
(1)
因为$CE$平分$\angle BCA$，所以$\angle BCE = \angle ACE$。
又因为$MN// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle OEC=\angle BCE$。
所以$\angle OEC = \angle ACE$，根据等角对等边，可得$OE = OC$。
同理，因为$CF$平分$\angle ACD$（$\angle ACD$为$\angle BCA$的外角），所以$\angle ACF=\angle DCF$。
又因为$MN// BC$，所以$\angle OFC=\angle DCF$。
所以$\angle OFC=\angle ACF$，根据等角对等边，可得$OF = OC$。
所以$OE = OF$。
(2)
当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$是矩形。
证明：
因为$O$是$AC$中点，所以$OA = OC$。
又由
(1)知$OE = OF$，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形$AECF$是平行四边形。
因为$CE$平分$\angle BCA$，$CF$平分$\angle ACD$，所以$\angle ECF=\angle ACE+\angle ACF=\frac{1}{2}(\angle BCA+\angle ACD)$。
因为$\angle BCA+\angle ACD = 180^{\circ}$（平角定义），所以$\angle ECF = 90^{\circ}$。
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$AECF$是矩形。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析，证得$OE = OF$。
(2) 当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$是矩形，证明过程如上述解析。