《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

18. 为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的比例配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为$y(cm)$,椅子的高度(不含靠背)为$x(cm)$,则$y$应是$x$的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
| 高度 | 第一套 | 第二套 |
| --- | --- | --- |
| 椅子高度$x/cm$ | $40.0$ | $37.0$ |
| 桌子高度$y/cm$ | $75.0$ | $70.2$ |
(1) 请确定$y$与$x$的函数解析式(不要求写出$x$的取值范围);
(2) 现有一把高$42.0cm$的椅子和一把高$78.2cm$的课桌,它们是否配套?

答案： 【解析】：
(1) 设$y$与$x$的函数解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
把$\begin{cases}x = 40,y = 75\\x = 37,y = 70.2\end{cases}$分别代入$y = kx + b$中，得到方程组$\begin{cases}40k + b = 75\\37k + b = 70.2\end{cases}$。
用第一个方程$40k + b = 75$减去第二个方程$37k + b = 70.2$，可得：
$(40k + b)-(37k + b)=75 - 70.2$
$40k + b - 37k - b = 4.8$
$3k = 4.8$
解得$k = 1.6$。
把$k = 1.6$代入$40k + b = 75$，得$40\times1.6 + b = 75$，即$64 + b = 75$，解得$b = 11$。
所以$y$与$x$的函数解析式为$y = 1.6x + 11$。
(2) 当$x = 42$时，把$x = 42$代入$y = 1.6x + 11$中，$y=1.6\times42 + 11=67.2 + 11 = 78.2$。
因为当椅子高度为$42cm$时，按照函数关系算出桌子高度为$78.2cm$，与现有的课桌高度相等，所以它们是配套的。
【答案】：
(1)$y = 1.6x + 11$；
(2)是配套的。

19. 如图,直线$y = kx - 6$经过点$A(4,0)$,直线$y = -3x + 3$与$x$轴交于点$B$,且两直线交于点$C$。
(1) 求$k$的值;$\frac{3}{2}$
(2) 求$\triangle ABC$的面积。$\frac{9}{2}$

答案： 【解析】：
(1) 因为直线$y = kx - 6$经过点$A(4,0)$，将点$A(4,0)$代入$y = kx - 6$中，可得$0 = 4k - 6$，解得$k=\frac{3}{2}$。
(2) 对于直线$y = -3x + 3$，令$y = 0$，则$0=-3x + 3$，解得$x = 1$，所以点$B$的坐标为$(1,0)$。
联立$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x - 6\\y = -3x + 3\end{cases}$，将$y = -3x + 3$代入$y=\frac{3}{2}x - 6$中，可得$-3x + 3=\frac{3}{2}x - 6$，
$-3x-\frac{3}{2}x=-6 - 3$，$-\frac{6}{2}x-\frac{3}{2}x=-9$，$-\frac{9}{2}x=-9$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$y = -3x + 3$，得$y=-3\times2 + 3=-3$，所以点$C$的坐标为$(2,-3)$。
$AB$的长度为$\vert4 - 1\vert=3$，点$C$到$x$轴的距离（即$\triangle ABC$中$AB$边上的高）为$\vert-3\vert = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times3\times3=\frac{9}{2}$。
【答案】：
(1)$\boldsymbol{k=\frac{3}{2}}$
(2)$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$