《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

18. 已知$a,b,c$满足$|a-\sqrt {7}|+\sqrt {b-5}+(c-4\sqrt {2})^{2}=0$.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)判断以$a,b,c$为边能否构成三角形,若能构成三角形,此三角形是什么形状? 并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.

答案： 【解析】：
1. 首先根据非负数的性质求$a$，$b$，$c$的值：
已知$\vert a - \sqrt{7}\vert+\sqrt{b - 5}+(c - 4\sqrt{2})^{2}=0$。
因为绝对值$\vert a-\sqrt{7}\vert\geqslant0$，算术平方根$\sqrt{b - 5}\geqslant0$，完全平方$(c - 4\sqrt{2})^{2}\geqslant0$。
几个非负数的和为$0$，则这几个非负数都为$0$，所以可得$\begin{cases}a-\sqrt{7}=0\\b - 5 = 0\\c-4\sqrt{2}=0\end{cases}$。
解第一个方程$a-\sqrt{7}=0$，得$a=\sqrt{7}$；解第二个方程$b - 5 = 0$，得$b = 5$；解第三个方程$c-4\sqrt{2}=0$，得$c = 4\sqrt{2}$。
2. 然后判断以$a$，$b$，$c$为边能否构成三角形：
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。
计算$a + b=\sqrt{7}+5$，因为$\sqrt{7}\approx2.65$，所以$\sqrt{7}+5\approx2.65 + 5=7.65$，而$4\sqrt{2}=\sqrt{32}\approx5.66$，$\sqrt{7}+5\gt4\sqrt{2}$。
$a + c=\sqrt{7}+4\sqrt{2}\approx2.65+5.66 = 8.31\gt5$。
$b + c=5 + 4\sqrt{2}\approx5 + 5.66=10.66\gt\sqrt{7}$。
$c - a=4\sqrt{2}-\sqrt{7}\approx5.66 - 2.65 = 3.01\lt5$。
$c - b=4\sqrt{2}-5\approx5.66 - 5 = 0.66\lt\sqrt{7}$。
$b - a=5-\sqrt{7}\approx5 - 2.65 = 2.35\lt4\sqrt{2}$。
所以$a$，$b$，$c$能构成三角形。
3. 接着判断三角形的形状：
计算$a^{2}+b^{2}$和$c^{2}$的值。
$a^{2}=(\sqrt{7})^{2}=7$，$b^{2}=25$，$c^{2}=(4\sqrt{2})^{2}=32$。
因为$a^{2}+b^{2}=7 + 25=32=c^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，所以此三角形是直角三角形，且$a$，$b$为直角边。
4. 最后求三角形的面积：
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$。
把$a=\sqrt{7}$，$b = 5$代入可得$S=\frac{1}{2}\times\sqrt{7}\times5=\frac{5\sqrt{7}}{2}$。
【答案】：
(1)$a=\sqrt{7}$，$b = 5$，$c = 4\sqrt{2}$；
(2)能构成三角形，此三角形是直角三角形，面积为$\frac{5\sqrt{7}}{2}$。

19. 如图,已知$AD⊥CD$于$D$,且$AD=4,CD=3,AB=12,BC=13$.求四边形$ABCD$的面积.

24

答案： 【解析】：连接$AC$。
因为$AD\perp CD$，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，已知$AD = 4$，$CD = 3$，则$AC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
在$\triangle ABC$中，$AC = 5$，$AB = 12$，$BC = 13$，满足$AC^{2}+AB^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$BC^{2}=13^{2}=169$，即$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}$。
四边形$ABCD$的面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times AC=\frac{1}{2}\times12\times5 = 30$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times AD\times CD=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$。
所以$S=30 - 6=24$。
【答案】：$24$