《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

20. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,依次连接各边中点得到中点四边形 EFGH.
(1)这个中点四边形 EFGH 的形状是______平行四边形;
(2)请证明你的结论.

答案： 【解析】：
（1）连接$AC$，利用三角形中位线定理证明$EH// FG$，$EH = FG$，从而得出四边形$EFGH$是平行四边形。
（2）证明：连接$AC$。
因为$E$是$AB$的中点，$H$是$AD$的中点，所以$EH$是$\triangle ABD$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得$EH// BD$，$EH=\dfrac{1}{2}BD$。
同理，因为$F$是$BC$的中点，$G$是$CD$的中点，所以$FG$是$\triangle BCD$的中位线，$FG// BD$，$FG = \dfrac{1}{2}BD$。
所以$EH// FG$，$EH = FG$。
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$EFGH$是平行四边形。
【答案】：
（1）平行四边形。

21. 如图,△ABC 是等边三角形,AD 是 BC 边上的高,点 E 在 AB 的延长线上,连接 ED,∠AED=30°,AF⊥AB 与 ED 的延长线交于点 F,连接 BF,CF,CE.
(1)求证:四边形 BECF 为平行四边形;
(2)若 AB=6,请直接写出四边形 BECF 的周长.

(1)证明：因为△ABC是等边三角形，AD⊥BC，所以BD=CD，∠BAD=30°。因为∠AED=30°，所以∠BAD=∠AED，故AD=ED。因为∠ADE=180°-∠BAD-∠AED=120°，∠ADC=90°，所以∠EDB=∠ADE-∠ADC=30°。又因为AF⊥AB，∠BAC=60°，所以∠CAF=30°，∠DAF=60°。由于∠ADF=∠EDB=30°，所以∠AFD=30°，则∠AFD=∠AED，故AE=AF。在△AEC和△AFB中，$\left\{\begin{array}{l}AE=AF\\\angle EAC=\angle FAB=90^{\circ}\\AC=AB\end{array}\right.$，所以△AEC≌△AFB(SAS)，因此EC=FB。同理可证△AEB≌△AFC，所以EB=FC。故四边形BECF为平行四边形。
(2)18

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BECF$为平行四边形
- 因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AD\perp BC$，根据等边三角形三线合一的性质，可得$BD = CD$，$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
- 已知$\angle AED = 30^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle AED$，根据等角对等边，可得$AD = ED$。
- 因为$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle BAD - \angle AED=120^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle EDB=\angle ADE-\angle ADC = 30^{\circ}$。
- 又因为$AF\perp AB$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle CAF = 30^{\circ}$，$\angle DAF = 60^{\circ}$。
- 由于$\angle ADF = \angle EDB = 30^{\circ}$，所以$\angle AFD = 30^{\circ}$，则$\angle AFD=\angle AED$，根据等角对等边，可得$AE = AF$。
- 在$\triangle AEC$和$\triangle AFB$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = AF\\\angle EAC=\angle FAB = 90^{\circ}\\AC = AB\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle AEC\cong\triangle AFB$，所以$EC = FB$。
- 同理可证$\triangle AEB\cong\triangle AFC$，所以$EB = FC$。
- 根据平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），可得四边形$BECF$为平行四边形。
### $(2)$ 求四边形$BECF$的周长
- 已知$AB = 6$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle BAD = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}AB = 3$。
- 由勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$，所以$ED = AD = 3\sqrt{3}$。
- 因为$\angle EBD = 120^{\circ}$，$\angle EDB = 30^{\circ}$，所以$\angle BED = 30^{\circ}$，则$BE = BD = 3$。
- 因为四边形$BECF$是平行四边形，所以$BE = CF = 3$，$EC = BF$。
- 在$Rt\triangle ABE$中，$AE=AB + BE=6 + 3 = 9$，$AD = ED = 3\sqrt{3}$，$\angle ADE = 120^{\circ}$，根据余弦定理$EC^{2}=ED^{2}+DC^{2}-2ED\cdot DC\cdot\cos\angle EDC$，$DC = 3$，$\angle EDC = 60^{\circ}$，可得$EC^{2}=(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}-2\times3\sqrt{3}\times3\times\cos60^{\circ}=27 + 9-9\sqrt{3}=36$，所以$EC = 6$。
- 四边形$BECF$的周长为$2(BE + EC)=2\times(3 + 6)=18$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$ $18$