《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 如图,在$□ ABCD$中,点$E$,$F$分别是边$AD$,$BC$的中点.求证:$BE = DF$.

证明：在$□ ABCD$中，$AD// BC$，$AD = BC$。
$\because E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，$\therefore DE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，$\therefore$$DE = BF$。
又$\because$$DE// BF$，$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形，$\therefore$$BE = DF$。

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD = BC$。
- 又因为点$E$，$F$分别是边$AD$，$BC$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，则$DE = BF$。
- 由于$DE// BF$，所以四边形$BFDE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
- 根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，所以$BE = DF$。
【答案】：
在$\square ABCD$中，$AD// BC$，$AD = BC$。
$\because E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，$\therefore DE=\frac{1}{2}AD$，$BF=\frac{1}{2}BC$，$\therefore DE = BF$。
又$\because DE// BF$，$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形，$\therefore BE = DF$。

18. 如图,直线$l_{1}// l_{2}$,$l_{1}$和$AB$的夹角$\angle ABC = 135^{\circ}$,$AB = 5$.求$l_{1}$和$l_{2}$之间的距离.

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

答案： 【解析】：过点$A$作$AD\perp l_{1}$于点$D$，因为$l_{1}// l_{2}$，所以$AD$的长度就是$l_{1}$与$l_{2}$之间的距离。
已知$\angle ABC = 135^{\circ}$，则$\angle ABD = 180^{\circ}-\angle ABC=180 - 135^{\circ}=45^{\circ}$。
又因为$AD\perp l_{1}$，所以$\triangle ABD$是等腰直角三角形（$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle ABD = 45^{\circ}$，则$\angle BAD=45^{\circ}=\angle ABD$）。
在等腰直角三角形$ABD$中，根据等腰直角三角形的性质$AD = BD$，且由勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，因为$AD = BD$，$AB = 5$，所以$AB^{2}=2AD^{2}$，即$25 = 2AD^{2}$，$AD^{2}=\frac{25}{2}$，$AD=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

19. 如图,$□ ABCD$中,$O$为对角线$AC$的中点,过点$O$作一条直线分别与$AB$,$CD$交于点$M$,$N$,点$E$,$F$在直线$MN$上,且$OE = OF$.
(1)图中共有4对全等三角形,请把它们都写出来:$\triangle ABC\cong\triangle CDA$，$\triangle AMO\cong\triangle CNO$，$\triangle AOE\cong\triangle COF$，$\triangle AEM\cong\triangle CFN$;
(2)求证:$\angle MAE=\angle NCF$.

答案： 【解析】：
### $(1)$ 找出图中的全等三角形
根据平行四边形的性质（对边相等，对角相等，对角线互相平分）以及全等三角形的判定定理（$SSS$、$SAS$、$ASA$、$AAS$、$HL$）来判断。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$，$\angle B=\angle D$，$AB// CD$，$AD// BC$。
又因为$O$是$AC$中点，所以$AO = CO$。
对于$\triangle ABC$和$\triangle CDA$：
$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\BC = DA\\AC = CA\end{array}\right.$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle CDA$。
因为$AB// CD$，所以$\angle MAO=\angle NCO$，$\angle AMO=\angle CNO$。
在$\triangle AMO$和$\triangle CNO$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AMO=\angle CNO\\\angle MAO=\angle NCO\\AO = CO\end{array}\right.$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）全等判定定理，可得$\triangle AMO\cong\triangle CNO$。
因为$OE = OF$，$\angle AOE=\angle COF$（对顶角相等），$AO = CO$，在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}AO = CO\\\angle AOE=\angle COF\\OE = OF\end{array}\right.$，根据$SAS$（边 - 角 - 边）全等判定定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
由$\triangle AMO\cong\triangle CNO$可得$AM = CN$，又因为$\triangle AOE\cong\triangle COF$可得$AE = CF$，$\angle AEO=\angle CFO$，所以$\angle AEM=\angle CFN$。
在$\triangle AEM$和$\triangle CFN$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CF\\\angle AEM=\angle CFN\\AM = CN\end{array}\right.$，根据$SAS$全等判定定理，可得$\triangle AEM\cong\triangle CFN$。
所以图中共有$4$对全等三角形，分别是$\triangle ABC\cong\triangle CDA$，$\triangle AMO\cong\triangle CNO$，$\triangle AOE\cong\triangle COF$，$\triangle AEM\cong\triangle CFN$。
### $(2)$ 证明$\angle MAE=\angle NCF$
由$(1)$已证$\triangle AOE\cong\triangle COF$，根据全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等），可得$\angle EAO=\angle FCO$。
又因为$\triangle AMO\cong\triangle CNO$，所以$\angle MAO=\angle NCO$。
根据等式的性质：$\angle EAO-\angle MAO=\angle FCO-\angle NCO$，即$\angle MAE=\angle NCF$。
【答案】：
$(1)$ $4$对，分别是$\boldsymbol{\triangle ABC\cong\triangle CDA}$，$\boldsymbol{\triangle AMO\cong\triangle CNO}$，$\boldsymbol{\triangle AOE\cong\triangle COF}$，$\boldsymbol{\triangle AEM\cong\triangle CFN}$。
$(2)$ 证明过程如上述解析。