《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

18. 如图,AB//CD,BE⊥AD,垂足为点 E,CF⊥AD,垂足为点 F,且 AE=DF.求证:四边形 BECF 是平行四边形.

证明：因为$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，所以$\angle BED=\angle CFA = 90^{\circ}$，则$BE// CF$。
又因为$AB// CD$，所以$\angle A=\angle D$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\AE = DF\\\angle AEB=\angle DFC = 90^{\circ}\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle DCF$。
所以$BE = CF$。
因为$BE// CF$且$BE = CF$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$BECF$是平行四边形。

答案： 【解析】：
因为$BE\perp AD$，$CF\perp AD$，所以$\angle BED=\angle CFA = 90^{\circ}$，则$BE// CF$。
又因为$AB// CD$，所以$\angle A=\angle D$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\AE = DF\\\angle AEB=\angle DFC = 90^{\circ}\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle DCF$。
所以$BE = CF$。
因为$BE// CF$且$BE = CF$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$BECF$是平行四边形。
【答案】：
四边形$BECF$是平行四边形，证明如上。

19. 如图,E,F 是□ABCD 的对角线 AC 上的点,CE=AF.请你猜想:BE 与 DF 有怎样的位置关系和数量关系,并对你的猜想加以证明.

猜想：BE与DF的位置关系是BE//DF，数量关系是BE=DF。
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB=AD，CB//AD，
∴∠BCE=∠DAF，
∵CE=AF，
∴△BCE≌△DAF(SAS)，
∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，
∴BE//DF。

答案： 【解析】：
- 首先，因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质可知$CB = AD$，$CB// AD$。
- 然后，由$CB// AD$可得$\angle BCE=\angle DAF$。
- 接着，已知$CE = AF$，在$\triangle BCE$和$\triangle DAF$中，$\begin{cases}CB = AD\\\angle BCE=\angle DAF\\CE = AF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可证$\triangle BCE\cong\triangle DAF$。
- 最后，由全等三角形的性质可得$BE = DF$，$\angle BEC=\angle DFA$，再根据内错角相等两直线平行，可得$BE// DF$。
【答案】：
$BE// DF$，$BE = DF$。证明如上。