《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 在$△ABC$中,$BC=a,AC=b,AB=c$,设$c$为最长边.当$a^{2}+b^{2}=c^{2}$时,$△ABC$是直角三角形;当$a^{2}+b^{2}≠c^{2}$时,利用代数式$a^{2}+b^{2}$和$c^{2}$的大小关系,探究$△ABC$的形状(按角分类).
(1)当$△ABC$的三边长分别为6,8,9时,$△ABC$为锐角三角形;当$△ABC$的三边长分别为6,8,11时,$△ABC$为钝角三角形;
(2)猜想:当$a^{2}+b^{2}$＞$c^{2}$时,$△ABC$为锐角三角形;当$a^{2}+b^{2}$＜$c^{2}$时,$△ABC$为钝角三角形;
(3)判断当$a=2,b=4$时,$△ABC$的形状,并求出对应的$c$的取值范围.当$4\leqslant c＜2\sqrt{5}$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；当$c = 2\sqrt{5}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$2\sqrt{5}＜c＜6$时，$\triangle ABC$是钝角三角形。

答案： 【解析】：
1. 首先明确判断三角形形状的依据：
设$c$为三角形最长边，根据勾股定理逆定理，当$a^{2}+b^{2}=c^{2}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$时，通过比较$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$的大小关系来判断三角形形状。
2. 然后解决（1）中的问题：
当$\triangle ABC$的三边长分别为$6$，$8$，$9$时，因为$c = 9$是最长边，计算$a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$c^{2}=9^{2}=81$。
由于$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$，所以$\triangle ABC$为锐角三角形。
当$\triangle ABC$的三边长分别为$6$，$8$，$11$时，因为$c = 11$是最长边，计算$a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，$c^{2}=11^{2}=121$。
由于$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$，所以$\triangle ABC$为钝角三角形。
3. 接着解决（2）中的问题：
由（1）的结论可猜想：当$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$时，$\triangle ABC$为锐角三角形；当$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$时，$\triangle ABC$为钝角三角形。
4. 最后解决（3）中的问题：
已知$a = 2$，$b = 4$，因为$c$为最长边，所以$4\leqslant c\lt a + b=2 + 4=6$。
计算$a^{2}+b^{2}=2^{2}+4^{2}=4 + 16 = 20$。
当$\triangle ABC$为锐角三角形时，$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$，即$c^{2}＜20$，解得$c ＜ 2\sqrt{5}$，又因为$4\leqslant c$，所以$4\leqslant c＜2\sqrt{5}$。
当$\triangle ABC$为直角三角形时，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即$c^{2}=20$，解得$c = 2\sqrt{5}$。
当$\triangle ABC$为钝角三角形时，$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$，即$c^{2}＞20$，解得$c＞2\sqrt{5}$，又因为$c＜6$，所以$2\sqrt{5}＜c＜6$。
【答案】：（1）锐角；钝角；（2）$＞$；$＜$；（3）当$4\leqslant c＜2\sqrt{5}$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；当$c = 2\sqrt{5}$时，$\triangle ABC$是直角三角形；当$2\sqrt{5}＜c＜6$时，$\triangle ABC$是钝角三角形。

勾股数规律
观察下列勾股数:
第一组:$3=2×1+1$,$4=2×1×(1+1)$,$5=2×1×(1+1)+1$;
第二组:$5=2×2+1$,$12=2×2×(2+1)$,$13=2×2×(2+1)+1$;
第三组:$7=2×3+1$,$24=2×3×(3+1)$,$25=2×3×(3+1)+1$;
第四组:$9=2×4+1$,$40=2×4×(4+1)$,$41=2×4×(4+1)+1$;
……
根据以上各组勾股数的组成特点,你能求出第七组的$a,b,c$各应是多少吗?第$n$组呢?
第七组：$a=$15，$b=$112，$c=$113；第$n$组：$a=$$2n + 1$，$b=$$2n(n + 1)$，$c=$$2n(n + 1)+1$

答案： 【解析】：通过观察所给的勾股数的前四组，发现每组勾股数中第一个数$a$的规律是$a = 2\times$组序号$+ 1$；第二个数$b$的规律是$b = 2\times$组序号$\times($组序号$ + 1)$；第三个数$c$的规律是$c=b + 1=2\times$组序号$\times($组序号$ + 1)+1$。所以当求第七组勾股数时，组序号为$7$，按照上述规律可得$a = 2×7 + 1 = 15$，$b = 2×7×(7 + 1)=112$，$c = 112 + 1 = 113$；求第$n$组勾股数时，组序号为$n$，则$a = 2n + 1$，$b = 2n(n + 1)$，$c = 2n(n + 1)+1$。
【答案】：第七组：$a = 15$，$b = 112$，$c = 113$；第$n$组：$a = 2n + 1$，$b = 2n(n + 1)$，$c = 2n(n + 1)+1$