《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

19. 如图,在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点,直线$l_1$经过点$A(-6,0)$,$B(0,3)$,点$C$在直线$l_1$上,点$C$的纵坐标为$4$.
(1)求直线$l_1$的函数解析式及点$C$的坐标;直线$l_1$的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 3$，点$C$的坐标为$(2,4)$
(2)若直线$l_1$的函数解析式为$y_1 = k_1x + b_1$,直线$l_2$的函数解析式为$y_2 = k_2x + b_2$,请直接写出满足$y_1 ＞ y_2$的$x$的取值范围是____$x\lt 2$;
(3)若点$D$为直线$l_1$上一动点,且$\triangle OBC$与$\triangle OAD$的面积相等,试求点$D$的坐标.点$D$的坐标为$(-4,1)$或$(-8,-1)$

答案： 【解析】：
### $(1)$求直线$l_1$的函数解析式及点$C$的坐标
设直线$l_1$的函数解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）。
已知直线$l_1$经过点$A(-6,0)$，$B(0,3)$，将点代入解析式可得：
$\begin{cases}-6k + b = 0 \\b = 3\end{cases}$
把$b = 3$代入$-6k + b = 0$，得$-6k+3 = 0$，解得$k=\frac{1}{2}$。
所以直线$l_1$的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 3$。
因为点$C$在直线$l_1$上，且纵坐标为$4$，把$y = 4$代入$y=\frac{1}{2}x + 3$，得$4=\frac{1}{2}x + 3$，解得$x = 2$。
所以点$C$的坐标为$(2,4)$。
### $(2)$求满足$y_1 ＞ y_2$的$x$的取值范围
由图可知，直线$l_1$与直线$l_2$的交点为$C(2,4)$，当$y_1 ＞ y_2$时，直线$l_1$在直线$l_2$上方，所以$x$的取值范围是$x\lt 2$。
### $(3)$求点$D$的坐标
已知$B(0,3)$，$C(2,4)$，$A(-6,0)$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，$\triangle OBC$中，以$OB$为底，$OB = 3$，点$C$横坐标的绝对值$\vert x_C\vert=2$为高，则$S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。
设点$D$的坐标为$(x,y)$，$\triangle OAD$中，以$OA$为底，$OA = 6$，点$D$纵坐标的绝对值$\vert y\vert$为高。
因为$S_{\triangle OBC}=S_{\triangle OAD}$，所以$\frac{1}{2}\times6\times\vert y\vert = 3$，解得$\vert y\vert = 1$。
当$y = 1$时，代入$y=\frac{1}{2}x + 3$，得$1=\frac{1}{2}x + 3$，解得$x=-4$，此时$D(-4,1)$。
当$y=-1$时，代入$y=\frac{1}{2}x + 3$，得$-1=\frac{1}{2}x + 3$，解得$x=-8$，此时$D(-8,-1)$。
【答案】：
$(1)$直线$l_1$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x + 3}$，点$C$的坐标为$\boldsymbol{(2,4)}$；
$(2)$$\boldsymbol{x\lt 2}$；
$(3)$点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-4,1)}$或$\boldsymbol{(-8,-1)}$。