《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 如图,点 E,F 是□ABCD 对角线 AC 上两点,且 AE=CF.
(1)求证:四边形 BFDE 是平行四边形;
四边形 BFDE 是平行四边形。
(2)如果把条件 AE=CF 改为 BE⊥AC,DF⊥AC,试问四边形 BFDE 是平行四边形吗? 为什么?
四边形 BFDE 是平行四边形。
(3)如果把条件 AE=CF 改为 BE=DF,试问四边形 BFDE 还是平行四边形吗? 为什么?
四边形 BFDE 不一定是平行四边形。

答案： 【解析】：
(1) 连接$BD$交$AC$于$O$，因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。又因为$AE = CF$，所以$OA - AE = OC - CF$，即$OE = OF$。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$BFDE$是平行四边形。
(2) 因为$BE⊥AC$，$DF⊥AC$，所以$∠BEO = ∠DFO = 90^{\circ}$。又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OB = OD$，$∠BOE = ∠DOF$（对顶角相等）。根据$AAS$可证$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OE = OF$。再由$OB = OD$，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$BFDE$是平行四边形。
(3) 当$BE = DF$时，四边形$BFDE$不一定是平行四边形。因为仅知道$BE = DF$，无法证明$\triangle ABE$与$\triangle CDF$全等（缺少夹角相等或其他边相等的条件），也就无法得出$OE = OF$，不满足平行四边形的判定条件。
【答案】：
(1) 四边形$BFDE$是平行四边形。
(2) 四边形$BFDE$是平行四边形。
(3) 四边形$BFDE$不一定是平行四边形。