《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 写出下列函数中自变量x的取值范围:
(1)$y=2x-3$;全体实数
(2)$y=\frac {3}{1-x}$;$x\neq1$
(3)$y=\sqrt {4-x}$;$x\leq4$
(4)$y=\frac {\sqrt {x-1}}{x-2}$.$x\geq1$且$x\neq2$

答案： 【解析】：
(1)对于函数$y = 2x - 3$，它是一个一次函数，一次函数的自变量$x$的取值范围是全体实数，因为对于任意实数$x$，都能通过$2x - 3$的运算得到唯一的$y$值。
(2)对于函数$y=\frac{3}{1 - x}$，它是一个分式函数，要使分式有意义，则分母不能为$0$，即$1 - x\neq0$，解得$x\neq1$，所以自变量$x$的取值范围是$x\neq1$。
(3)对于函数$y = \sqrt{4 - x}$，它是一个二次根式函数，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，即$4 - x\geq0$，解不等式$4 - x\geq0$，移项可得$-x\geq - 4$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得到$x\leq4$，所以自变量$x$的取值范围是$x\leq4$。
(4)对于函数$y=\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$，要使该函数有意义，既要满足二次根式中被开方数是非负数，又要满足分母不为$0$。所以有$\begin{cases}x - 1\geq0\\x - 2\neq0\end{cases}$，解不等式$x - 1\geq0$，得$x\geq1$；解不等式$x - 2\neq0$，得$x\neq2$。综合可得自变量$x$的取值范围是$x\geq1$且$x\neq2$。
【答案】：
(1)全体实数；
(2)$x\neq1$；
(3)$x\leq4$；
(4)$x\geq1$且$x\neq2$

18. 请按要求画出函数$y=\frac {1}{2}x^{2}$的图象:
(1)列表;
| x | … | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | $\frac{9}{2}$ | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | $\frac{9}{2}$ | … |
(2)描点;(3)连线;

(4)请你判断点$(4,8),(-\frac {1}{2},-\frac {1}{8})$是否在函数图象上.答:____点$(4,8)$在函数图象上，点$(-\frac {1}{2},-\frac {1}{8})$不在函数图象上.

答案： 【解析】：
(1)当$x = - 3$时，$y=\frac{1}{2}\times(-3)^{2}=\frac{9}{2}$；当$x = - 2$时，$y=\frac{1}{2}\times(-2)^{2}=2$；当$x = - 1$时，$y=\frac{1}{2}\times(-1)^{2}=\frac{1}{2}$；当$x = 0$时，$y=\frac{1}{2}\times0^{2}=0$；当$x = 1$时，$y=\frac{1}{2}\times1^{2}=\frac{1}{2}$；当$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}\times2^{2}=2$；当$x = 3$时，$y=\frac{1}{2}\times3^{2}=\frac{9}{2}$。
列表如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| $y$ | … | $\frac{9}{2}$ | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ | $\frac{9}{2}$ | … |
(4)当$x = 4$时，$y=\frac{1}{2}\times4^{2}=8$，所以点$(4,8)$在函数$y = \frac{1}{2}x^{2}$的图象上。
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{8}\neq-\frac{1}{8}$，所以点$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$不在函数$y = \frac{1}{2}x^{2}$的图象上。
【答案】：点$(4,8)$在函数图象上，点$(-\frac {1}{2},-\frac {1}{8})$不在函数图象上。